"Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"

11.12.2011, 16:32

regälschleo

"Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"

Meine Frage:
Ich schreibe bald meine Mathe-LK-Klausur, hab unser Thema "Integralrechnung" eigentlich komplett verstanden, nur komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.

"Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution:
$\begin{eqnarray*} f(x)= 1/x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 1/t \end{eqnarray*}$ "

Integration durch Substitution von dx nach dz hab ich verstanden, nur bei der Umkehrung (Integration durch Substitution der Integrationsvariablen, dx nach dt) hab ich noch nicht verstanden, wie das funktioniert.

Es wäre toll, wenn ihr mir nicht nur bei dieser Aufgabe den Lösungsweg erklären würdet, sondern generell erklären könntet, wie ich bei so einer Aufgabenart vorgehen muss.

Danke!

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'=\frac{-1}{t^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_A^B \! -\frac{1}{\frac{1}{t^2} \sqrt{1-\frac{1}{t^2} } } * \frac{1}{t^2} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\int_A^B \! \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{t^2} } } \, dt \end{eqnarray*}$

... und jetzt müsste ich, glaub ich, dieses Gebilde aufleiten, oder?

11.12.2011, 17:09

Mulder

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"
Alles völlig richtig, was du gemacht hast. Allerdings geht's hier noch etwas weiter, wenn du den Bruch mit t erweiterst, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{t^2} } } = \frac{t}{t \cdot \sqrt{1-\frac{1}{t^2} } } = \frac{t}{\sqrt{t^2-1 }} \end{eqnarray*}$

Und nun springt eine weitere Substitution ja geradezu ins Gesicht und dann kann man integrieren.

So würde ich es jedenfalls machen. Oder ich übersehe jetzt irgendwas und es geht noch einfacher... verwirrt

11.12.2011, 17:43

regälschleo

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"
Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Erklärst du mir bitte noch den Schritt von deinem 2. zum 3. Term?

Wenn ich jetzt weiter intergrieren würde, sähe das dann wie folgt aus?

$\begin{eqnarray*} \int_A^B \! \frac{t}{\sqrt{t^2-1} } \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{\sqrt{z} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=t^2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5\int_A^B \! \frac{1}{\sqrt{t^2-1} } \, dt * 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5\int_A^B \! \frac{1}{\sqrt{z} } \, dz \end{eqnarray*}$

11.12.2011, 18:01

Mulder

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"
Darauf läuft's hinaus, ja. Integriert hast du jetzt aber ja noch gar nicht.

Den einen Schritt solltest du dir eigentlich selbst erklären können, schau da nochmal drüber. Was habe ich wohl mit dem t im Nenner angestellt?

11.12.2011, 18:34

regälschleo

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"
tut mir leid, ich komm nicht drauf, wie du das vereinfacht hast! verwirrt

also am Ende möchte ich ja eine Stammfunktion herausbekommen. Muss ich z nun einfach noch durch g(x) ersetzen, und dann den Term aufleiten und noch mit dem Faktor 0,5 multiplizieren?

11.12.2011, 19:07

Mulder

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"

Zitat:

Original von regälschleo
Muss ich z nun einfach noch durch g(x) ersetzen

Was für ein g(x) ??? Wende Potenzgesetze an, um die Wurzel umzuschreiben und integriere nach z, das ist doch jetzt der einfachste Schritt von allen.

Es ist $\begin{eqnarray*} t = \sqrt{t^2} \end{eqnarray*}$

und dann halt die Wurzeln miteinander multiplizieren. Elementare Potenzgesetze (die obige Gleichheit gilt natürlich nur für t größergleich 0, das soll uns hier aber mal egal sein).

11.12.2011, 19:34

regälschleo

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"
Jetzt hat es bei mir Klick gemacht. Ich stand da grad auf dem Schlauch.. smile

Wenn ich das jetzt richtig sehe, muss ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z} } \end{eqnarray*}$
nun nur noch aufleiten, anschließend das z ersetzen durch $\begin{eqnarray*} t^2-1 \end{eqnarray*}$ und dann den Term mit 0,5 multiplizieren (weil der ja die ganze Zeit noch vor dem Integral stand)?

Und dann hätte ich die fertige Stammfunktion? Bei mir kommt dann heraus:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4\sqrt{t^2-1} } \end{eqnarray*}$

Oder hab ich mich da jetzt verrechnet?

Danke für Ihre Geduld! Ich weiß, ich bin ein schwieriger Fall unglücklich

11.12.2011, 22:54

Mulder

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RE: "Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit der angegebenen Substitution"

Zitat:

Original von regälschleo
Und dann hätte ich die fertige Stammfunktion? Bei mir kommt dann heraus:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4\sqrt{t^2-1} } \end{eqnarray*}$

Oder hab ich mich da jetzt verrechnet?

Hmm, wie hast du denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z}} \end{eqnarray*}$ integriert? verwirrt

Und vergiss nicht, dass wir ganz oben ja schon $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ substituiert haben - die entsprechende Rücksubstitution steht ganz am Ende ja auch noch aus.

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