Integral mit Substitution

11.12.2011, 17:54

qwert100

Integral mit Substitution

Folgendes Integral ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^{3}\sqrt{4-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Das ganze soll mit Substitution gelöst werden.

Da Lineare Substitution nicht funktionieren kann gehe ich davon aus das es irgendwie auf Ersetzen mit der Ableitung hinausläuft aber wie genau?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} u=4-x^{2} \end{eqnarray*}$ substituiere , dann ist die Ableitung $\begin{eqnarray*} du=-2x \end{eqnarray*}$ . Dann könnte ich das Integral so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -0,5du^{3} \sqrt{u } \, du \end{eqnarray*}$ aber das kommt mir irgendwie total komisch vor da ich nicht weiß was ich mit du^3 machen soll um zur Lösung zu kommen , falls das überhaupt möglich ist.( das du ganz hinten muss dort aber trotzdem stehen oder? )

Wenn ich x^3 substituiere komme ich auch auf keinen grünen Zweig.

Hoffe auf eure Mithilfe
qwert100

11.12.2011, 20:40

qwert100

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RE: Integral mit Substitution
Keiner ne Idee?
Ich schätze mal meine Vorgehensweise mit du^3 ist falsch.

11.12.2011, 21:55

Tremonia

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$\begin{eqnarray*} u = 4-x^{2}; x =\sqrt{4-u}; du/dx =2x; dx = du/2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^{3}\sqrt{4-x^{2} } \, dx = \int_a^b \! (\sqrt{4-u})^3 \sqrt{u} \frac{1}{2\sqrt{4-u} } \, du \end{eqnarray*}$
einmal kürzen: $\begin{eqnarray*} =\int_a^b \! (4-u)\sqrt{u}\frac{1}{2} \, du=\frac{1}{2} *\left(4*\int_a^b \! \sqrt{u} \, du -\int_a^b \! \sqrt{u}*u \, du \right) = \frac{1}{2} *\left(4*\int_a^b \! u^{\frac{1}{2} } \, du -\int_a^b \! \ u^{\frac{3}{2} } \, du \right) \end{eqnarray*}$

11.12.2011, 21:56

Nature_

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Integral mit Substitution
Hi erstmal, ich glaube nicht dass ich dir die Lösung des Integrals sagen kann aber ich könnnte dir immerhin einen Fehler aufzählen: wenn du 4-x^² substituierst dann bekommst du u=4-x^² das nun differenziert ist du=2dx --> dx=1/2*du

Also hättest du das integral von x^³ *(u)^(1/2) * 1/2 * du

Wenn ich mich nicht irre. Leider kann ich dir von diesem Punkt an auch nicht weiter helfen, da wir solche Rechnungen nie weiter gerechnet haben :/ du kannst (meines Wissens nach) das x^3 nicht einfach so umsubstituieren.

MfG Nature_

(sry dass ich händische Formeln angebe ich hab das mit dem Quellcode für die Zeichen noch nicht ganz überrissen O.o bin neu smile

) hoffe ich konnte helfen smile

12.12.2011, 09:21

klarsoweit

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RE: Integral mit Substitution
@Tremonia: abgesehen davon, daß wir hier keine Komplettlösung (oder was dem ziemlich nahe kommt) sehen wollen, ist deine Rechnung auch falsch.
Nature hat übrigens den gleichen Fehler gemacht.

12.12.2011, 13:04

Tremonia

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RE: Integral mit Substitution

Zitat:

Original von klarsoweit
@Tremonia: abgesehen davon, daß wir hier keine Komplettlösung (oder was dem ziemlich nahe kommt) sehen wollen, ist deine Rechnung auch falsch.
Nature hat übrigens den gleichen Fehler gemacht.

Ok das mit den Komplettlösungen wusste ich so nicht. Wo ist denn mein Fehler? Habe gestern Abend nur schnell versucht zu helfen und nicht nochmal kontrolliert.

12.12.2011, 13:10

Tremonia

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Habe das nochmal durchgesehen es fehlt wohl noch ein Minus vor dem 1/2.

12.12.2011, 13:47

René Gruber

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Außerdem sollten doch bitte die Grenzen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mitsubstituiert werden.

Möglicherweise habt ihr (wie so viele) diese Grenzen aber auch nur versehentlich vom hiesigen Formeleditor her rührend "mitgeschleift": Wenn es euch nur um unbestimmte Integrale geht, dann entfernt doch bitte diese Grenzen.

12.12.2011, 14:58

Tremonia

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Zitat:

Original von René Gruber

Möglicherweise habt ihr (wie so viele) diese Grenzen aber auch nur versehentlich vom hiesigen Formeleditor her rührend "mitgeschleift": Wenn es euch nur um unbestimmte Integrale geht, dann entfernt doch bitte diese Grenzen.

Ich denke das unbestimmte Integral ist gemeint. Ich werde dann in Zukunft die Grenzen weglassen. Ansonsten müsste er eben u(x=a) und u(x=b)berechnen.

15.12.2011, 22:54

qwert100

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Es geht natürlich um das unbestimmte Integral.

Danke nochmal an Tremonia , hatte den Thread ganz vergessen.

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Integral mit Substitution

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