Exponentialgleichung lösen

11.12.2011, 18:08	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialgleichung lösen Meine Frage: Ich weiß nicht wie ich folgende Gleichung nach x auflöse ? $\begin{eqnarray} e^{x} = 1-x \end{eqnarray}$ Meine Ideen: (Rein vom hinsehen erkennt man zwar das x=0 sein muss, aber wie kann man das mathematisch begründen ???)
11.12.2011, 18:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wärs mit dem Logaritmus.
11.12.2011, 18:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
@Gmasterflash, der Logarithmus hilft hier nicht weiter. @T-Dog, x=0 erfüllt die Gleichung, das kann man einfach durch Einsetzen und ausrechnen nachweisen. Dass es keine anderen Lösungen gibt, kann man etwa über die Monotonie nachweisen.
11.12.2011, 18:14	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Existiert keine andere Möglichkeit außer Einsetzen, weil das irgendwie so unmathematisch klingt(weil die Lösung quasi "geraten" wurde
11.12.2011, 18:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich wollte ich ihn damit zu der Lösung führen das es keine weitern Lösungen gibt.
11.12.2011, 18:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja aber durchaus eine Lösung, x=0 löst ja die Gleichung. Und die Anwendung des Logarithmus zeigt auch nicht, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Das kommt ganz darauf an, was dir zur Verfügung steht. Es ist aber nicht unmathematisch, eine Lösung zu "raten" oder "gut zu sehen" und dann nachzuweisen, dass es keine weitere Lösungen mehr gibt.
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11.12.2011, 18:19	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso zeigt eigentlich die Monotonie, dass es keine weiteren lösungen gibt ???
11.12.2011, 18:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für Aussagen kannst du denn über die Monotonie treffen?
11.12.2011, 18:23	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Gleichung als Funktion auffasst, dann wäre f(x)= $\begin{eqnarray} e^{x}-x \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend
11.12.2011, 18:25	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte $\begin{eqnarray} f(x)=e^{x} +x \end{eqnarray}$
11.12.2011, 18:27	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} f(x)=e^x-x \end{eqnarray}$ ? Da ist ein Vorzeichen falsch. Deine zweite Version ist richtig. Es kommt jetzt ganz darauf an, was du für Vorwissen hast. So ist etwa eine stetige, streng monoton wachsende Funktion injektiv. Damit wärst du schon fertig.
11.12.2011, 18:34	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, d.h. wegen der Eineindeutigkeit kann man sagen, dass nur x=0, die einzige Lösung ist. Und dieser Nachweis kann auch für andere Funktionen benutzt werden, also für Nullstellenberchnung beispielsweise ???
11.12.2011, 18:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit ist x=0 die einzige Lösung. Auch für andere Funktionen kann diese Argumentation verwendet werden, vorausgesetzt die Anforderungen (Stetigkeit, streng monoton) sind erfüllt.
11.12.2011, 18:41	T-Dog	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe !

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