Integral in Partialbruch

11.01.2007, 11:27

shan

Integral in Partialbruch

Hallo
Ich soll das folgende Integral in Partialbruch zerlegen, aber nur wie?
Hab' zwar die Lösung, aber nicht den Weg. Ist ohne arctan.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx} {x^2 - 16} \end{eqnarray*}$

Ich hab' erstmal das x² aufgelöst, aber dann komm ich nicht mehr weiter.
Überhaupt habe ich ein problem wenn dx im Zähler steht.
Kann mir irgendeiner das mal erklären?
Danke.

11.01.2007, 11:35

Divergenz

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RE: Integral in Partialbruch
Hallo,

zunächst mal zum dx im Zähler: Da steht es eigentlich immer! Es ist in diesem Fall einfach nur gemeint:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{x^2-16}=\int\frac{1}{x^2-16}\,dx \end{eqnarray*}$ .

Zur Partialbruchzerlegung: Du musst die Nullstellen des Nenners bestimmen, dann nur die Linearfaktoren in die Nenner der neuen Brüche schreiben und die Zähler (Koeffizienten der neuen Brüche) so bestimmen, dass die Summe den alten Bruch entspricht. Hierzu hat man in der Regel ein kleines LGS zu lösen, das man aus dem Koeffizientenvergleich des Zählers ergibt.

11.01.2007, 12:12

mYthos

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Aus dem HS-Bereich *verschoben*

mY+

11.01.2007, 13:58

shan

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Ja stimmt!!
Ich bin so.. Hammer

Danke!
Und wenn wir schon dabei sind:
$\begin{eqnarray*} \int \frac {3 - 2x^2} {(x - 3)^2 (x - 1)} dx \end{eqnarray*}$
Ich hab' (x - 3)^2 erstmal ausmultipliziert aber irgendwie wurde dann das total verwirrend.

11.01.2007, 14:14

Bjoern1982

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Nein, wenn der Nenner schon so schön faktorisiert da steht NIEMALS wieter ausmultiplizieren smile

$\begin{eqnarray*} \frac {3 - 2x^2} {(x - 3)^2 (x - 1)} =\frac{A}{x-3}+ \frac{B}{(x-3)^2}+\frac{C}{x-1} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

11.01.2007, 15:09

shan

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Danke und nochmals danke!!
Das erklärt natürlich, warum ich nur wirrwarr raus hab.

14.01.2007, 18:09

shan

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Nein, wenn der Nenner schon so schön faktorisiert da steht NIEMALS wieter ausmultiplizieren smile

$\begin{eqnarray*} \frac {3 - 2x^2} {(x - 3)^2 (x - 1)} =\frac{A}{x-3}+ \frac{B}{(x-3)^2}+\frac{C}{x-1} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

Brauch' nochmal hilfe!

Meine Nullstellen sind doch: 3, 1 und (beliebig) aber ich komm einfach nicht auf das ergebnis.
Mein A ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und es soll $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ und mein B ist 4 und $\begin{eqnarray*} -\frac{15}{2} \end{eqnarray*}$ soll rauskommen.
Und bei C hänge ich total.

14.01.2007, 18:44

derkoch

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bringe die rechte seite der gleichung auf einen hauptnenner und führe anschließend einen koeffizientenvergleich durch!

28.01.2007, 12:55

x-tina

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ich habe ein Ergebnis:
ist das richtig?:

28.01.2007, 12:58

x-tina

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ups, also hier mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} ln\mid x-3 \mid - \frac{15}{2} \cdot ln\mid -(x-3) \mid +\frac{1}{4} \cdot ln\mid x-1 \mid \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 12:59

x-tina

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kann ich auch das minus beim 2. ln rausziehen und mit dem minus davor zu plus machen?

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