Frage zu Differnzierbarkeit bei zusammengesetzten Funktionen

11.12.2011, 18:55

konitro

Frage zu Differnzierbarkeit bei zusammengesetzten Funktionen

Hey

meine Funktion besteht aus

$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \ge 0 \end{eqnarray*}$

Setig ist die Funktion ja, aber ist sie differnzierbar im Punkt 0?
Wohl eher nicht, da wenn man sie plottet ein Knick in 0 zu sehen ist..

Meine Frage lautet dazu: Wie kann ich das nachweisen, dass sie nicht differenzierbar ist.

Eine funktion ist ja diff'bar falls der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} lim_{h->0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =: f'(x) \end{eqnarray*}$

existiert.

Kann ich jetzt sagen? :

Die Funktion f(x) ist im Punkt x=0 nicht diff'bar, denn für
$\begin{eqnarray*} h_n := \frac {1}{n}~ mit ~lim_{n->\infty}h_n = 0 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{2+\frac{1}{n}-2}{\frac{1}{n}} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Da ja 0 die Ableitung der Funktion im Punkt 2 ist...

oder muss ich da ganz anders ran ?
bitte helft mir smile

11.12.2011, 19:55

original

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RE: Frage zu Differnzierbarkeit bei zusammengesetzten Funktionen

Zitat:

Original von konitro

$\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \ge 0 \end{eqnarray*}$

Eine funktion ist ja diff'bar falls der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} lim_{h->0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =: f'(x) \end{eqnarray*}$

existiert.

ja und jetzt machst du es i.P. schon richtig:

du wirst hier zuerst einen linksseitgen Grenzwwert des Differenzenquotienten
(mit f(x)=x^2+x+2 für x-> 0- ... Ergebnis : 1)

und einen rechtsseitigen
(mit f(x)=2 für x->0+ Ergebnis: 0)

berechnen und wenn diese (wie hier) verschieden sind, dann existiert KEIN Grenzwert
das Quotienten für x->0

fertig

11.12.2011, 20:32

konitro

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aber wenn ich jetzt da meinen differenzenquotienten berechne dann bekomm ich irgendwie nur die ableitung raus... ich wusste nach 20 sek dass das ding nicht diff'bar ist aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben soll, vor allem haben wir das ganze mal mit folgen irgendwie gemacht... ?!

11.12.2011, 21:09

konitro

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Ich hab das jetzt mal so gemacht:

Die Funktion f(x) ist zwar stetig aber nicht diff'bar im Punkt 0, denn der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} lim_{h->0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

Denn für $\begin{eqnarray*} h_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} \frac{2-2}{\frac{1}{n}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} \frac{(0+\frac{1}{n})^2+0+\frac{1}{n}+2-2}{\frac{1}{n}} = 1 \end{eqnarray*}$

Kann man so argumentieren ?

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