kln x - (1-k)(1/x) --> Nullstellen?

11.01.2007, 11:34

Sonnenschein1987

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k*ln x - (1-k)*(1/x) --> Nullstellen?

Hallo!

Laut funktion.exe (ganz einfaches, kostenloses Mathe-Programm), hat die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = k*ln(x) - (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

eine Nullstelle.

Leider kriege ich die nicht raus. Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} k*ln(x) - (1-k)*\frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> k*ln(x) = (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x*ln(x) = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x*e^x = e^{(1-k)/k} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich damit oder auch anders auf x?

Danke für eure Hilfe.

11.01.2007, 11:38

klarsoweit

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RE: k*ln x - (1-k)*(1/x) --> Nullstellen?

Zitat:

Original von Sonnenschein1987
$\begin{eqnarray*} <=> x*ln(x) = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> x*e^x = e^{(1-k)/k} \end{eqnarray*}$

Diese "Äquivalenz" ist falsch. Ich denke, du kannst di Existenz einer Nullstelle mit einem Zwischenwertsatz zeigen.

11.01.2007, 11:43

Sonnenschein1987

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Leider verstehe ich nicht warum die Äquivalentumformung falsch ist :-(.
Und was ein Zwischenwertsatz ist, weiß ich auch nicht.

Aber es ist eh egal...
Ich konnte nicht richtig lesen, die Funktion die wir diskutieren sollen lautet richtig:

$\begin{eqnarray*} f(x) = k*ln x + (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Trotzdem danke für deine Mühe.

11.01.2007, 11:58

AD

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Zitat:

Original von Sonnenschein1987
Leider verstehe ich nicht warum die Äquivalentumformung falsch ist :-(.

Deine Umformung $\begin{eqnarray*} e^{x\ln(x)} \stackrel{?}{=} e^x\cdot e^{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ ist falsch - richtig ist allenfalls

$\begin{eqnarray*} e^{x\ln(x)} = (e^{\ln(x)})^x = x^x \end{eqnarray*}$ .

11.01.2007, 12:03

Sonnenschein1987

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Ok, danke, hab ich verstanden.

Aber wie löse ich denn $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ nach x auf, um die Nullstellen rauszubekommen?

11.01.2007, 12:09

AD

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Mit gewöhnlichen Funktionen geht das gar nicht. Aber setzen wir mal in der Zeile vorher an

$\begin{eqnarray*} x\ln(x) = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$

und substituieren dort $\begin{eqnarray*} y:=\ln(x) \end{eqnarray*}$ . Dann kann man die entstehende Gleichung $\begin{eqnarray*} ye^y = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der sogenannten LambertW-Funktion auflösen, und dann rücksubstituieren.

Ach ja: Gibt es überhaupt keine Einschränkungen an $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , wie z.B. $\begin{eqnarray*} 0<k<1 \end{eqnarray*}$ oder sowas? Da hast du nämlich bisher überhaupt nix drüber gesagt!

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11.01.2007, 12:28

Sonnenschein1987

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Oh sorry, ja genau das gilt für k...

Also diese LambertW-Funktion ist mir ebenfalls unbekannt.

Und da wir die in der Vorlesung (1. Sem) noch nicht hatten, sehe ich gar nicht ein warum ich diese Aufgabe lösen muss :-(...

Ihr braucht sie mir nicht zu erklären - ich muss so schon genug lernen...

Danke für eure Hilfe.

11.01.2007, 12:51

klarsoweit

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Vielleicht ist die Lösung der Aufgabe einfacher, als du denkst. Dazu wäre es aber gut, wenn du mal den vollständigen Aufgabentext posten könntest.

11.01.2007, 13:39

Sonnenschein1987

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Man führe eine Kurvendiskussion für folgende Funktion(en) durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = k*ln(x) + (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<k<1 \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt Def.-Bereich, Symmetrie, Verhalten für x gegen 0 und ist gegen unendlich, Ableitungen, Extrema, Wendestellen, Zeichnung.

Dann habe ich noch die Ortslinien der Tiefpunkte und der Wendepunkte berechnet, obwohl die meiner Meinung nach nicht zu einer Kurvendiskussion gehören. (Was der Prof genau verlangt, wissen wir nicht...).

Bei der Berechnung der Nullstellen und der gemeinsamen Punkten der Kurvenschar (das gehört eigentlich auch nicht zur KD) habe ich Probleme, da ich da immer auf $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ stoße.

Hab das Bild der Kurvenschar mal angehängt.

11.01.2007, 14:07

klarsoweit

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Das ist in der Tat eine blöde Funktion. Das einzige, was man zu den Nullstellen sagen kann, ist, daß es welche gibt, solange die Funktion ein absolutes Minimum unterhalb der x-Achse hat.

11.01.2007, 15:13

Sonnenschein1987

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Jap, das stimmt :-).
Schreibe das dann einfach hin.

Danke!

11.01.2007, 16:17

AD

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Zitat:

Original von Sonnenschein1987
Man führe eine Kurvendiskussion für folgende Funktion(en) durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = k*ln(x) + (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<k<1 \end{eqnarray*}$

In deinem Thread-Eröffnungsbeitrag stand noch

$\begin{eqnarray*} f(x) = k*ln(x) - (1-k)*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Eine Klärung, ob nun + oder - wäre angebracht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: ... Argghhh, jetzt sehe ich's - du hast es zwischendurch schonmal angemerkt (war wohl zu undeutlich für meine altersschwachen Augen). Also die +Variante ist gültig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT2:

Zitat:

Original von klarsoweit
Das einzige, was man zu den Nullstellen sagen kann, ist, daß es welche gibt, solange die Funktion ein absolutes Minimum unterhalb der x-Achse hat.

Immerhin. Und wenn auch nicht die Nullstellen selbst, so man kann doch zumindest die Parameter $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ explizit angeben, für die es Nullstellen gibt! Das sollte man m.E. auf jeden Fall noch tun.

11.01.2007, 18:12

Sonnenschein1987

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Als Tiefpunkt habe ich:

$\begin{eqnarray*} T(\frac{1-k}{k} | \frac{k³}{(1-k)³}) \end{eqnarray*}$

Dann muss ich doch den y-Wert < 0 setzen und k bestimmen oder?

Laut Zeichnung müsste für k dann ungefähr >0,75 raus kommen.

Das kriege ich aber nicht raus, sondern k<0 was ja gar nicht zulässig ist.

11.01.2007, 18:54

AD

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Die Minimumstelle $\begin{eqnarray*} x_t = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber dann hast du falsch eingesetzt - womöglich in die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ oder gar $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ , statt richtigerweise in die eigentliche Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = k\ln(x) + \frac{1-k}{x} \end{eqnarray*}$ .

11.01.2007, 19:36

Milkaschokolade

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Ja....... Menno ;-).

Jetzt habe ich als y-Wert folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} k(ln\frac{1-k}{k} + \frac{1+k}{1-k} ) \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich das nach k auflösen?? Vor allem da das ganze sogar <0 sein soll....

11.01.2007, 19:47

Sonnenschein1987

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Sorry, letzte Nachricht war von mir - meine Freundin war noch eingeloggt!

11.01.2007, 19:55

AD

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Wo kommt denn das (1+k) da im Zähler rechts her?

11.01.2007, 20:13

Sonnenschein1987

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Ich hab nur (1-k)/k für jedes x eingesetzt, dann das produkt aus (1-k) und k/(1-k) ausgerechnet, k ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} k(ln\frac{1-k}{k} + \frac{1}{1-k} + \frac{k}{1-k} ) \end{eqnarray*}$

und die hinteren beiden Brüche zusammengefasst.

11.01.2007, 20:17

AD

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Keine Ahnung, was du da rechnest. Also bei mir gibt $\begin{eqnarray*} x_t = \frac{1-k}{k} \end{eqnarray*}$ eingesetzt in $\begin{eqnarray*} f(x) = k\ln(x) + \frac{1-k}{x} \end{eqnarray*}$ den Wert

$\begin{eqnarray*} f(x_t) = k\ln\left( \frac{1-k}{k} \right) + (1-k)\cdot \frac{k}{1-k} = k\ln\left( \frac{1-k}{k} \right) + k = k\left[ \ln\left( \frac{1-k}{k} \right) + 1 \right] \end{eqnarray*}$

11.01.2007, 20:45

Sonnenschein1987

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Ja, das stimmt auch. Hab nicht bemerkt, dass man da einmal kürzen konnte...

Ok, dann habe ich als y-Wert jetzt auch:

$\begin{eqnarray*} k(ln\frac{1-k}{k} +1) \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich dass jetzt < 0 setze und dann nach k auflösen will (um anzugeben für welche k es Nullstellen gibt) komme ich auch auf nichts brauchbares.
Kann man die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} k(ln\frac{1-k}{k} +1) < 0 \end{eqnarray*}$

überhaupt nach k auflösen?

EDIT: Lösung durch Ausprobieren ist ungefähr k = 0,73

11.01.2007, 20:50

AD

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Wenn ich immer so früh aufgeben würde, wäre ich meinen Arbeitsplatz los...

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist positiv, also ist

$\begin{eqnarray*} k(\ln\left( \frac{1-k}{k} \right) +1) < 0 \end{eqnarray*}$

nach Division durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und Subtraktion von 1 äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{1-k}{k} \right) < -1 \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1-k}{k} < e^{-1} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . Der Rest dürfte klar sein.

11.01.2007, 20:57

Sonnenschein1987

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Ja, danke :-).

Dann muss $\begin{eqnarray*} k < \frac{e}{1+e} = 0,731058578 \end{eqnarray*}$ sein.

Vielen Dank für eure Mühe.

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