Raten der Nullstelle durch Teiler der Konstanten |
| 12.12.2011, 10:24 | Nord.Kind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Raten der Nullstelle durch Teiler der Konstanten Algemein ist ja eine Herangehensweise zum Finden von Nullstellen die, dass man die Konstante der Terme nach ihren Teilern zerlegt und diese als Nullstellen probiert. Da man jeden Term mit Potenz 3 als (x-a)(x-b)(x-c) = dX³+ex²+fx +abc schreiben kann für x³+3x²-x-12 gilt quasi: -12=abc mit Teilern von 12 sind = +/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/-12 Nun ist die Nullstelle der Funktion aber irgendwo bei 1,7. Und 1,7 ³ = 4.913, also weit davon entfernt 12 zu sein. Anscheinend funktioniert das an dieser Funktion also nicht! Wie kann das sein?! Meine Ideen: Ich habe leider keine Idee dazu |
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| 12.12.2011, 10:32 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie du das meinst, aber die Methode mit den Teilern der Konstanten/Koeffizienten funktioniert nur für rationale Nullstellen. Die (einzig reelle) Nullstelle hier ist aber irrational, weswegen die Methode nicht funktioniert. MfG |
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| 12.12.2011, 10:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Raten der Nullstelle durch Teiler der Konstanten
Das stimmt aber nicht, wenn a, b und c reelle Zahlen sein sollen, wie man leicht an der Funktion f(x) = x³ - 1 erkennt.
Warum bildest du 1,7³ ? 
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| 12.12.2011, 10:47 | Nord.Kind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal danke für die schnellen Antworten! Ich bin durch die Antwort von dir "Huy" noch nicht ganz durchgestiegen. Dafür muss ich mir die Begriffe der irrationalen sowie rationalen Nullstellen noch einmal zu Gemüte führen. @Klarsoweit: Aber gerade für die Dunkton f(x) = x³ - 1 funktioniert das Schema das ich anwenden möchte. Teiler von 1 = 1 und ist auch Nullstelle. Mal ein anderes Beispiel. Frage: warum funktioniert meine Methode HIER aber nicht in dem ersten Beispiel. x³-6x²-x+30 Nullstellen sind : -2, 3, 5 Mit -2*3*5 = -30 habe ich wieder die Konstante aus dem oberen Term. Deswegen habe ich auch 1,7³ genommen. Denn die Nullstellen multipliziert ergeben nach dem mir bekannten Schema die Konstante. Und da 1,7³ doch glaube ich eine 3fache Nullstelle ist wollte ich das einfach mal ausprobieren 
Beste Grüße und vielen Dank nochmal! |
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| 12.12.2011, 10:47 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Probieren der Teiler ist lediglich eine gute Strategie, wenn man sowieso ganzzahlige (bzw. rationale) Nullstellen vermutet, wie sie in der Schule üblich sind. Es ist selbstverständlich keineswegs garantiert, dass dem immer so sein muss, wie zum Beispiel auch zeigt. Edit: Huch, die Antwort von Huy hatte ich irgendwie glatt überlesen. air |
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| 12.12.2011, 10:48 | Huy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
MfG |
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| 12.12.2011, 10:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja und dann? Wie sehen die anderen beiden Nullstellen aus? |
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| 12.12.2011, 11:01 | Nord.Kind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Airblader: Ja ok - klar es müssen nicht unbedingt Ganzzahlige Teiler rauskommen - das ist schon klar. Aber bei deinem Beispiel ergibt die Multiplikation der Nullstellen weider die Konstante. Also 2^(1/2)*2^(1/2)=2 Das funktioniert ja bei meinem ersten Beispiel auch nicht. @Klarsoweit: Also laut meinem Ti besitzt die Funktion nur eine sichtbaer Nullstelle an 1. Das wird wohl auch eine dreifache Nullstelle sein, aber jedenfalls finde ich keine andere "geometrische"? Nullstelle. @Huy meinst du mit irrationale Nullstelle, dass die NUllstelle nicht mit Brüchen ganzer Zahlen darstellbar ist? Müsste dann nicht zumindest dennoch gelten, dass das Produkt aller Nullstellen egal ob rati- oder irrational die Konstante ergeben muss? Das Thema versuche ich mir hier grade eigenständig näher zu bringen, weil ich es nicht mag, auf das alleinige RATEN einer Nullstelle angewiesen zu sein. Ich möchte zumindest irgendeinen Anhaltspunkt für Nullstellen haben. Jetzt dachte ich hätte ich einen gefunden, der funzt aber nun weider auch nicht... |
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| 12.12.2011, 11:06 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die anderen Nullstellen von klarsoweits Beispiel sind schlicht komplexe Zahlen. Du kannst sie ja mal ausrechnen.
Sich nicht auf raten verlassen zu wollen ist irgendwie lobenswert, aber eigentlich spricht nichts gegen Raten. Nullstellen zu finden wird schnell eine ziemlich komplizierte Problematik. Für Gleichungen vom Grad 3 gibt es sogar analog zur Mitternachtsformel noch eine geschlossene Lösungsformel, ab Grad 5 ist dies nachweislich unmöglich. air |
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| 12.12.2011, 11:13 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachtrag: Die reelle Lösung von ist Die beiden anderen, komplexen Lösungen, sind Du kannst dir natürlich gerne die Arbeit machen und von Hand nachrechnen, dass ergibt. air |
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| 12.12.2011, 11:19 | Nord.Kind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhhh ok vielen lieben Dank. Das bedeutet quasi: Ja die Multiplikation der Nullstellen ergibt die Konstante. ABER dafür muss man auch noch die Komplexen Nullstellen finden und diese mit einbeziehen. Darf ich fragen wie genau du auf die Lösung x1 gekommen bist ohne zu raten? Oder meinst du das wäre für mich bei weitem zu umständlich
Ein wenig umständlich würde ich in Kauf nehmen
Beste Grüße! |
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| 12.12.2011, 11:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe geschummelt.
Prinzipiell geht sowas "Holzhammer-Methode-mäßig" mit den Formeln von Cardano, die im Grunde oben genannte Erweiterung der Mitternachtsformel für Polynome dritten Grades darstellen. Manchmal geht es auch über trickreiche Substitutionen und was es sonst noch so gibt. Diese Wege lassen sich, wie in der Mathematik üblich, aber nicht generalisieren. Schon die Tatsache, überhaupt eine geschlossene Lösungsformel zu haben – auch wenn sie kompliziert ist – ist ein echter Komfort. Sobald eine polynomiale Gleichung einen Grad höher als 4 hat, ist dies nämlich, wie gesagt, bewiesenermaßen unmöglich. air |
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| 12.12.2011, 11:27 | Nord.Kind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar dann vielen Dank! Hat mir wirklich weitergeholfen=) Beste Grüße an alle! |
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| 12.12.2011, 11:29 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachtrag: Dass die Nullstellen sich immer zum Absolutglied (bis auf Vorzeichen) multiplizieren ist eine leichte Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jedes Polynom vom Grad n über den komplexen Zahlen genau n Nullstellen besitzt, denn dann ist Und dies muss man ja nur ausmultiplizieren, um zu sehen, dass gilt. Das Vorzeichen ergibt sich daraus, ob n gerade oder ungerade ist. air |
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