Wann wird die Funktion stetig

12.12.2011, 13:30

chrlan

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Wann wird die Funktion stetig

Meine Frage:
Es seien die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x):= \end{eqnarray*}$ 0 falls x irrational ist, 1 falls x rational ist
$\begin{eqnarray*} g(x):= \end{eqnarray*}$ 0 falls x irrational ist, $\begin{eqnarray*} \frac 1 q \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x=\frac p q \end{eqnarray*}$ , wobei p und q teilerfremd sind.
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, in denen f bzw. g stetig sind.

Meine Ideen:
Ich würde sagen: f ist immer stetig und g ist nur für irrationale Zahlen stetig.
Ich weiß allerdings nicht wie ich das zeigen soll. Wäre da über ein bisschen Hilfe froh Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tut mir leid, dass das oben so komisch aussieht. Wusste nicht wie ich das in latex schreiben sollte.

12.12.2011, 13:40

Huy

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Wie kommst du darauf, dass f überall stetig ist?

MfG

12.12.2011, 13:44

original

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RE: Wann wird die Funktion stetig

Zitat:

Original von chrlan

$\begin{eqnarray*} f(x):= \end{eqnarray*}$ 0 falls x irrational ist, 1 falls x rational ist

Ich würde sagen: f ist immer stetig

wie kommst du denn auf diese Idee?
welche Definition für " f ist stetig an irgendeiner Stelle x aus D " ist dir bekannt?

sorry, sehe gerade, da war schon eine Anwort

13.12.2011, 13:35

chrlan

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das mit g(x) hab ich aus einem buch. ich dachte ich hätte das verstanden und wollte das auf f(x) mal übertragen. ist anscheinend nicht so. ich wäre echt froh, wenn mir das mal jemand nochmal zusammenfassen kann. würde das nämlich echt gerne verstehen, weil das scheint mir schon was grundlegendes zu sein.

13.12.2011, 20:44

gast11111

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ist f in unendlich vielen intervallen stetig, aber nicht durchgängig? ( weil es ja unendlich viele intervalle gibt wo irrationale zahlen aufeinander folgen aber diese bereiche werden von rationalen zahlen getrennt)

14.12.2011, 09:25

chrlan

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stimmt die annahme von gast11111?

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14.12.2011, 09:42

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nirgends stetig. Das sollte mit der Epsilon-Definition des Grenzwertes sowie anhand der Tatsache, dass sowohl die rationalen als auch irrationalen Zahlen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dicht liegen, klar sein.

Bei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sieht es etwas anders aus, aber auch da gibt es kein Intervall positiver Länge, auf dem $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durchgängig stetig ist.

14.12.2011, 11:07

gast11111

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ok hab verstanden das die dichte hier der grund ist warums nicht stetig ist.
aber bei g ists doch dann dasselbe oder? ich mein die abstänge zwischen den funktionswerten werden zwar kleiner, aber die funktion springt doch immernoch, oder muss ich da eine andere begründung als bei f(x) anbringen?

14.12.2011, 11:54

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist in allen rationalen Punkten unstetig, die Begründung ist ähnlich wie bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

In den irrationalen Punkten aber ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig - warum das so ist, darüber solltest du noch etwas nachdenken!

15.12.2011, 09:52

chrlan

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RE: Wann wird die Funktion stetig
man könnte bei f also so vorgehen:
f ist für rationale zahlen nicht stetig, weil zwischen zwei rationalen zahlen immer auch irrationale zahlen liegen, wodurch die funktion sprunghaft wird. und zwischen endlich vielen irrationalen zahlen liegen immer auch wieder rationale zahlen (--> sprunghaft). von daher ist sie nie stetig? stimmt das soweit?

bei g analog:
g ist für rationale zahlen nicht stetig, begründung s.o.
für irrationale zahlen schon, weil es zwischen endlich vielen irrationalen zahlen nicht zwangsläufig einen teilerfremden bruch gibt, der die funktion sprunghaft macht. habe ich das so richtig verstanden?

15.12.2011, 10:25

Lunali

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Reicht das schon als beweis?

15.12.2011, 10:37

Thobi

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und wie beweise ich das was chrlan geschrieben hat? das so dahin zu schreiben reicht doch nicht als beweis oder?

15.12.2011, 11:05

chrlan

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das würde ich auch gern wissen. ausserdem weiß ich auch noch nicht wirklich ob das so ganz stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2011, 11:08

René Gruber

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Zitat:

Original von chrlan
weil es zwischen endlich vielen irrationalen zahlen nicht zwangsläufig einen teilerfremden bruch gibt, der die funktion sprunghaft macht

Sehr nebulös und deswegen auch so nicht akzeptabel. Ein "sauberer Epsilon-Beweis" ist hier durchaus möglich und auch anzuraten.

15.12.2011, 11:36

Lunali

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den epsilonbeweis hab ich noch nie verstanden. kann den vielleicht mal jemand erklären oder einen ansatz geben? ich hab echt keine ahnung wie ich da vor gehen soll traurig

traurig

15.12.2011, 13:59

René Gruber

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Wann ist denn die Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;D\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ stetig:

Wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} |g(x)-g(x_0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

---------------------------

Sei nun also $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ irrational, d.h. $\begin{eqnarray*} g(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ , und wir geben uns ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor. Jetzt wollen wir also ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} |g(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0-\delta<x<x_0+\delta \end{eqnarray*}$ . Die irrationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind kein Problem, die erfüllen das wegen $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Ebenfalls zulässig sind die rationalen $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit "genügend großen" $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ , nämlich solchen mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Und letzteres ist dann auch der Schlüssel zum Beweis: Man sorgt einfach dafür, dass das Intervall $\begin{eqnarray*} (x_0-\delta,x_0+\delta) \end{eqnarray*}$ so klein ist, dass keine Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q \leq \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ darin enthalten sind. Bis hierher war alles nur erklärendes Vorgeplänkel, der eigentliche Beweis geht technisch ungefähr so:

Zu jeder ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ kann man bezogen auf die irrationale Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ das offene Intervall

$\begin{eqnarray*} I_q := \left( \frac{1}{q} \lfloor x_0q \rfloor, \frac{1}{q} (\lfloor x_0q \rfloor+1) \right) \end{eqnarray*}$

definieren, welches offenbar $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ enthält, aber keine keine rationale Zahl der Form $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ .

Zu vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es nun eine positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir nun

$\begin{eqnarray*} J_n := \bigcap\limits_{q=1}^n I_q \end{eqnarray*}$ ,

dann ist $\begin{eqnarray*} J_n \end{eqnarray*}$ wiederum ein offenes Intervall mit $\begin{eqnarray*} x_0\in J_n \end{eqnarray*}$ , welches aber nur rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ enthalten kann mit $\begin{eqnarray*} q>n \end{eqnarray*}$ . Es folgt somit (für die rationalen wie die irrationalen) Zahlen $\begin{eqnarray*} x\in J_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |g(x)-g(x_0)| = |g(x)| < \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Abschließend wählen wir $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ noch so klein, dass $\begin{eqnarray*} (x_0-\delta,x_0+\delta) \subseteq J_n \end{eqnarray*}$ gilt, was ja wegen der Offenheit von $\begin{eqnarray*} J_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_0\in J_n \end{eqnarray*}$ möglich ist.

15.12.2011, 14:12

chrlan

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also das "vorgeplänkel" verstehe ich noch. aber danach, ich sag nur oha. versteh das nicht

15.12.2011, 15:19

René Gruber

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Ich habe es nach besten Wissen und Gewissen ausführlichst erläutert, da erwarte ich auch etwas Anstrengung deinerseits - oder du lässt es eben bleiben.

16.12.2011, 07:52

543

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kann man das bei der f denn so schriftlich stehen lassen als Beweis? ich wüsste ähmlich nicht wie ich das sonst ausdrücken, bzw. darstellen sollte

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