Bedeutung der Hesse'schen Normalform für Abstandsbestimmung zum Koordinatenursprung

12.12.2011, 13:43	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung der Hesse'schen Normalform für Abstandsbestimmung zum Koordinatenursprung Hallo allerseits. Ich beschäftige mich derzeit mit der Abstandsbestimmung von Ebenen zum Koordinatenursprung. Dabei möchte ich mir über die geometrische Bedeutung des Parameters d in der Koordinatengleichung einer Ebene und insbesondere über die Bedeutung der Hesse'schen Normalform zur Abstandsbestimmung klar werden. Meine Frage zur Bedeutung der Hesse'schen Normalform für die Abstandsbestimmung einer Ebene zum Koordinatenursprung hat sich durch die unten aufgeführten Überlegungen mittlerweile erledigt. Doch möchte ich trotzdem dieses Posting hier veröffentlichen. Vielleicht hilft es dem einen oder anderen beim Verständnis, der sich mit der selben Frage wie ich herumschlägt. Sei nun eine Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \mathbb E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \end{eqnarray}$ Der Abstand der Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ zum Koordinatenursprung O ist gegeben durch den Abstand des Schnittpunkts S einer zu $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ orthogonal verlaufenden Ursprungsgerade mit $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ zu O. Die zu betrachtende Gerade besitzt also die Gleichung $\begin{eqnarray} g:\ \vec x:=\lambda\vec n\ \mathrm{mit}\ \vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Für den Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec S \end{eqnarray}$ zum Schnittpunkt $\begin{eqnarray} S\in g\cap\mathbb E \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} \lambda n_1^2+\lambda n_2^2+\lambda n_3^2=d\ \Leftrightarrow\ \lambda=\frac d{n_1^2+n_2^2+n_3^2}=\frac d{\\|\vec n\\|^2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} \vec S=\frac d{\\|\vec n\\|^2}\,\vec n \end{eqnarray}$ . Der Abstand der Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ zum Koordinatenursprung O ist dann gegeben durch $\begin{eqnarray} \\|\vec S\\|=\frac d{\\|\vec n\\|^2}\,\\|\vec n\\|=\frac d{\\|\vec n\\|} \end{eqnarray}$ . Nun aber ist die Hesse'sche Normalform von $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \mathbb E:\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3}{\\|\vec n\\|}-\frac d{\\|\vec n\\|}=0 \end{eqnarray}$ .
13.12.2011, 01:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedeutung der Hesse'schen Normalform für Abstandsbestimmung zum Koordinatenursprung Und was sagt diese nun aus? ------------ Und wie kann man damit die Abstandsbestimmung auch auf einen allgemeinen Punkt P(p1; p2; p3) ausweiten? [--> Ebene parallel zu E durch P .. ] mY+

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