Zwischenwertsatz

12.12.2011, 13:51

Danny91

Zwischenwertsatz

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben, ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.

Es seien f und g reellwertige, stetige Funktionen definiert auf dem Intervall [a,b]. Weiter gelte $\begin{eqnarray*} f(a)\leq g(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)\geq g(b) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es ein c mit $\begin{eqnarray*} a\leq c\leq b \end{eqnarray*}$ gibt, so dass f(c)=g(c).

Meine Ideen:
Der Zwischensatz impliziert, dass $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x_{0})= c \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube das könnte mir helfen aber ich weiß nicht genau wie. unglücklich

12.12.2011, 13:56

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RE: Zwischenwertsatz

Zitat:

Original von Danny91
Meine Ideen:
Der Zwischensatz impliziert, dass $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x_{0})= c \end{eqnarray*}$ .

Mit Sicherheit sagt der Zwischenwertsatz das nicht aus.

Was die Aufgabe angeht, würde ich mal die Funktion h(x) := f(x) - g(x) betrachten.

12.12.2011, 16:21

Danny91

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RE: Zwischenwertsatz
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Wenn ich es so beweisen würde wäre das richtig und damit bewiesen?
Betrachten wir die Diffenezfunktion $\begin{eqnarray*} h:\mathbb R ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ , h:f-g, mit h(x)=f(x)-g(x). h ist wegen der Stetigkeit von f und g stetig, was aus den Rechenregeln für stetige Funktionen folgt. Da g beschränkt ist,
$\begin{eqnarray*} -c\leq g(x)\leq c\forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei c > 0. Da f surjektiv ist, existiert zu y=-2c ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(a)=-2c aber auch zu y=2c ein $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(b)=2c. Dann folgt für die Differenzfunktion:
h(a)=f(a)-g(a)=2c-g(a) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -2c+c=-c<0.
und h(b)=f(b)-g(b)=c-g(b) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2c-c=c>0.
Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, das h stetig ist: Zu jeder $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ zwischen h(a) und h(b) existiert ein $\begin{eqnarray*} x_{0}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit h( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ )=0 und somit $\begin{eqnarray*} \exists x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(x)=g(x).

13.12.2011, 09:14

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RE: Zwischenwertsatz
Was das ganze mit dem c soll, ist mir ein Rätsel. Aus der Vorgabe folgt doch direkt, daß h(a) = f(a) - g(a) <= 0 und h(b) = f(b) - g(b) >= 0 ist.

Zitat:

Original von Danny91
Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, das h stetig ist: Zu jeder $\begin{eqnarray*} y_{0} \end{eqnarray*}$ zwischen h(a) und h(b) existiert ein $\begin{eqnarray*} x_{0}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit h( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ )=0 und somit $\begin{eqnarray*} \exists x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(x)=g(x).

Auch das ist merkwürdig formuliert. Was soll da das y_0, daß dann in der Aussage nicht mehr vorkommt? verwirrt

13.12.2011, 18:18

Danny91

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RE: Zwischenwertsatz
Man vorrigens Beispiel hab ich von einer ähnlichen Aufgabe entnommen aber ich glaub ich hab da was falsch verstanden oder die aufgabe war doch nicht so ähnlich. traurig

Also wenn ich deine Methode anwende und
h(a)=f(a)-g(a)< a-a=0 und
h(b)=f(b)-g(b)> b-b =0 (*)

Wenn ich es so beweisen würde, würde das dann stimmen?

Laut Zwischenwertsatz für die die stetige Funktion h, muss h(x) jeden Wert aus dem Intervall [h(a),h(b)] wenigstens einmal annehmen. Wegen (*) gilt aber speziell 0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [h(a),h(b)], also gibt es ein x* mit h(x*)=0, umgeschrieben heißt das f(x*)=x*.

Nur weißt ich jetzt nicht ob das gehen würde da ich ja in der Ursprungsaufgabe f(c)=g(c) stehen habe. verwirrt

14.12.2011, 09:14

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RE: Zwischenwertsatz

Zitat:

Original von Danny91
h(a)=f(a)-g(a)< a-a=0 und
h(b)=f(b)-g(b)> b-b =0 (*)

Richtig ist:
h(a) = f(a)-g(a) <= a-a = 0 und
h(b) = f(b)-g(b) >= b-b = 0

Zitat:

Original von Danny91
umgeschrieben heißt das f(x*)=x*.

Darüber solltest du nochmal nachdenken.

14.12.2011, 11:59

Danny91

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RE: Zwischenwertsatz
Ich hab darüber nachgedacht und ich glaube eher dass das richtig ist.

f(x*)=g(x*).

Stimmt das jetzt? smile

14.12.2011, 13:28

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RE: Zwischenwertsatz
Ja. Freude

14.12.2011, 14:11

Danny91

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RE: Zwischenwertsatz
Vielen Dank für deine geduld und deine Hilfe!!! smile

Eine kleine Frage hätte ich aber noch.

Man könnte doch h(x) := f(x) - g(x) doch auch
so umschreiben h(c)=f(c)-g(c) und das Ergebnis wäre dann

f(c*)=g(c*). c wäre dann eine Variable. Ich hätte dann genau das Ergebnis der Ursprungsgleichung.

Geht das oder wäre das falsch?

14.12.2011, 14:18

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RE: Zwischenwertsatz
Was verstehst du unter "Ursprungsgleichung" und was soll das ganze jetzt bringen, außer den Kindern andere Namen zu geben?

14.12.2011, 15:27

Danny91

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RE: Zwischenwertsatz
Mit Ursprungsgleichungen meine die Gleichung f(c)=g(c) die in der Aufgabe ist, deshalb wollte ich dem Kind einen anderen Namen geben. smile

Zitat:

Original von Danny91
Es seien f und g reellwertige, stetige Funktionen definiert auf dem Intervall [a,b]. Weiter gelte $\begin{eqnarray*} f(a)\leq g(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)\geq g(b) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es ein c mit $\begin{eqnarray*} a\leq c\leq b \end{eqnarray*}$ gibt, so dass f(c)=g(c).

.

Oder ist das unwichtig?

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