Zwischenwertsatz (Brouwers-Fixpunktsatz)

12.12.2011, 14:59	Marc90	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz (Brouwers-Fixpunktsatz) Meine Frage: Hallo, könnt ihr helfen bei dieser Aufabe? Zeige Sie Brouwers Fixpunktsatz: Es sei f: [a,b]-> [a,b] eine stetige Funktion. Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es gilt f(c)=c für ein c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [a,b]. Meine Ideen: Würde diese Lösung stimmen und wäre das ein Beweis? Sei [a,b]= $\begin{eqnarray} [a,b]^{2} \end{eqnarray}$ der Graph der stetigen Funktion [a,b] -> [a,b] muss mindestens einmal auf die Linie x=y stossen.
12.12.2011, 15:15	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Beweis (aber gut zur Veranschaulichung warum die Aussage gelten muss). Für einen Beweis muss schon der Zwischenwertsatz ran. Betrachte die Funktion f(x)-x und zeige, dass sie eine Nullstelle hat.
12.12.2011, 17:06	Marc90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe. Ich hab das mal damit versucht. Ich hab dann das hier herraus: g(x)=f(x)-x Sei g(a)=f(a)-a $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ a-a=o und g(b)=f(b)-b $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ b-b=0 () Laut Zwischenwertsatz für ebenfalls die stetige Funktion g muss g(x)jeden Wert aus dem Intervall [g(a),g(b)] wenigstens einmal annehmen. Wegen ()gilt aber speziell 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ [g(a),g(b)], also gibt es ein x* mit g(x)=0, umgeschrieben heißt das f(x)=x* also Fixpunkt. Wäre das richtig?
12.12.2011, 17:18	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommen richtig.
12.12.2011, 18:28	Marc90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe.

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