R² spiegelung der Geraden Rückdrehung

12.12.2011, 15:08	Pedro12342341	Auf diesen Beitrag antworten »
R² spiegelung der Geraden Rückdrehung Meine Frage: in R² betrachten wir die Spiegelung an der Geraden: G={(x,y] \| y=2x} C R² berechnen Sie die repräsentatierende Matrix (kombinieren Sie eine Drehung, die Spiegelung an einer Koordinatenachse und die Rückdrehung). Meine Ideen:* Beweis Drehung der x-Achse cos(\gamma ) = 1/\sqrt{5} , sin(\gamma) = 2/\sqrt{5} WARUM?
12.12.2011, 17:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ der spitze Winkel zwischen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse und Spiegelachse ist, dann gilt $\begin{eqnarray} \tan \gamma = 2 \end{eqnarray}$ . Das ist der bekannte Zusammenhang zwischen Steigung und Steigungswinkel einer Geraden. Wenn du in dieser Gleichung den Tangens durch den Quotienten von Sinus und Cosinus ersetzt und quadrierst, erhältst du $\begin{eqnarray} \frac{\sin^2 \gamma}{\cos^2 \gamma} = 4 \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du mit dem trigonometrischen Pythagoras einmal den Sinus, einmal den Cosinus aus der Gleichung eliminieren und die Gleichung entsprechend auflösen. Da $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ spitz ist, ist das positive Vorzeichen der Wurzel jeweils das richtige. Oder du stellst die Hessesche Normalform der Geraden her: $\begin{eqnarray} y = 2x \ \ \Leftrightarrow \ \ 2x - y = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot x - \frac{1}{\sqrt{5}} y = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt ist $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Normaleneinheitsvektor der Geraden. Setzt man ihn am Ursprung an, so zeigt der Pfeil in den IV. Quadranten. Dreht man den Vektor gegen den Uhrzeigersinn um 90° (das macht man, indem man die Koordinaten vertauscht und anschließend in der ersten Koordinate einen Vorzeichenwechsel durchführt), so bekommt man einen Richtungseinheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ der Geraden, der, am Ursprung angesetzt, in den I. Quadranten zeigt. Daher kann man $\begin{eqnarray} \cos \gamma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin \gamma \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ ablesen. Denke an die Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Du führst also am besten erst eine Drehung mit dem Winkel $\begin{eqnarray} - \gamma \end{eqnarray}$ durch, dann eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse und schließlich die Rückdrehung mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . Im übrigen kannst du dein Ergebnis mit der allgemeinen Lösung hier vergleichen. Es ist gleich der Spezialfall bei 1. in meinem ersten Beitrag dort. Du kannst aber auch die allgemeine Lösung später heranziehen.

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