Geometrische Reihe

12.12.2011, 15:15

Peterk

Geometrische Reihe

Meine Frage:
Geometrische Reihe: ein Ball fällt aus der Höhe h auf den Boden. Nach jdem Sprung erreicht der Ball das r-fache seiner vorherigen Höhe (0<r<1). Wie groß ist der durch den Ball zurückgelgte weg, bevor er zum Stillstand kommt?

Meine Ideen:
Ich bin für jeden Ansatz dankbar!

12.12.2011, 15:23

klarsoweit

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RE: Geometrische Reihe
Wie wäre es mit eigenen Ansätzen? Immerhin könntest du mal aufschreiben, aus welcher Höhe der Ball beim 1, 2. 3, ..., n-ten Mal auf den Boden auftrifft.

12.12.2011, 15:27

wdposchmann

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RE: Geometrische Reihe
Wenn du dir mal auf ein Blatt Papier zeichnest wie der Ball fällt und mit r und h arbeitest, kommst du schnell drauf. Ansatz: h + r*h + ... Wie geht es weiter? Eigene Ansätze sind wirklich wichtig, wie klarsoweit schon sagt.

16.12.2011, 19:18

TobiM92

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Also mein ansatz ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty h+n*r*h \end{eqnarray*}$ für r: 0<r<1
und da müsste doch eigentlich unendlich rauskommen, da immer etwas aufsummiert wird, wenn man in dem fall die reibung vernachlässigen kann oder darf?

16.12.2011, 22:07

wdposchmann

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RE: Geometrische Reihe
Und wie kommst du auf den Ansatz. Denken wir die ersten Schritte mal durch:

1. Der Ball fällt h (z. B. Meter) nach unten
2. Der Ball springt r*h nach oben

3. Der Ball fällt nochmals r*h nach unten! (denn sonst kann er ja nicht wieder aufspringen)

4. Der Ball springt r*(r*h) nach oben (hierbei habe ich das eine r*h nur in Klammern gesetzt, um zu verdeutlichen, dass das die Höhe ist, die nun r mal benutzt werden muss)
5. Der Ball fällt wieder r*(r*h) nach unten.

usw.

Wir haben also als Ansatz: h + 2*r*h + 2*(r^2)*h + ...

Was kann man da jetzt wo ausklammern damit man auf die geometrische Reihe kommt?

P.S.: Reibung etc. sollte man hier vernachlässigen können, das spielt dann eher in der Physik eine Rolle.

17.12.2011, 12:57

TobiM92

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Also hätte ich dann den Ansatz :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 2h(\frac{1}{2} +r^{n} ) \end{eqnarray*}$

und da 0<r<1 ist würde $\begin{eqnarray*} r^{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehn und somit der Term gegen h oder?

17.12.2011, 13:52

wdposchmann

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RE: Geometrische Reihe
Also Ziel bei der Geometrischen Reihe ist es ja, in der Summe nur einen Ausdruck r^i zu haben, da du sonst ja den Grenzwert der Geometrischen Reihe nicht benutzen kannst und die Reihenuntersuchung sonst umständlicher wäre.

Zitat:

und da 0<r<1 ist würde gegen 0 gehn und somit der Term gegen h oder?

Logische Überlegung: Betrachten wir mal nur die ersten zwei Schritte, die ich in meinem vorherigen Post geschrieben habe. Nach diesen zwei Schritten hat der Ball bereits h + r*h (z.B. Meter) zurückgelegt. Wenn der Term gegen h gehen würde, wäre deine Antwort auf die Frage ja praktisch: Bevor der Ball zum Liegen kommt, hat er h zurückgelegt. Wie aber soll das gehen, wenn er bereits nach den ersten zwei Schritten h + r*h zurückgelegt hat?

Wenn du meinen Ansatz mal genau betrachtest und ab dem zweiten Glied immer 2h ausklammerst, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} <br /> h + 2h(r^1+r^2+r^3+...) = h + 2h \sum_{i=1}^{\infty} r^i<br /> \end{eqnarray*}$

Was umgeformt auch deinem Ansatz entspricht.

Wie sieht jetzt der Grenzwert aus?

17.12.2011, 14:02

TobiM92

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Jetzt mal eine doofe Frage müsste nicht die $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty r^i \end{eqnarray*}$
gegen unendlich gehn? da es ja eine Summe ist wird immer etwas dazu addiert auch wenn dies immer kleiner wird?

18.12.2011, 11:45

wdposchmann

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RE: Geometrische Reihe
Das sollte man instinktiv meinen, ja. Und es stimmt auch für die meisten r. Allerdings nicht für 0 < r < 1. Und genau diese r untersuchen wir hier. Der Rest ist jetzt nicht mehr schwer. Den Grenzwert für die geometrische Reihe findest du leicht auf wikipedia.

18.12.2011, 14:33

TobiM92

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Also jetzt liegt leider ein Problem vor...
ich hab die Summe mit einem Computer Algebra System mir ausrechnen lassen für r^i mit i=1..unendlich

und da kommt raus das für $\begin{eqnarray*} | r | < 1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{r-1}-1 \end{eqnarray*}$ ist
somit hab ich für diese Aufgabe raus das der zurückgelegte Weg $\begin{eqnarray*} h+\frac{2h}{1-r}-1 \end{eqnarray*}$ ist?
Ich hab noch 2 andere Kumpel gefragt un die haben leider was anderes raus nämlich : $\begin{eqnarray*} h*\frac{1+r}{1-r} \end{eqnarray*}$ und der andere $\begin{eqnarray*} \frac{2h}{1-r}-h \end{eqnarray*}$

Was davon ist jetzt richtig ?

Danke für die Hilfe

18.12.2011, 14:47

Mulder

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Zitat:

Original von TobiM92
Ich hab noch 2 andere Kumpel gefragt un die haben leider was anderes raus nämlich : $\begin{eqnarray*} h*\frac{1+r}{1-r} \end{eqnarray*}$ und der andere $\begin{eqnarray*} \frac{2h}{1-r}-h \end{eqnarray*}$

Das ist doch beides dasselbe. Und auf dieses Ergebnis würdest du auch kommen, wenn du berücksichtigen würdest, dass der Faktor 2h vor der Summe sich auf den gesamten Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-r}-1 \end{eqnarray*}$

bezieht und nicht nur auf den Bruch.

Übrigens sollte man sowas nicht unbedingt mit einem CAS ausrechnen müssen, das kann man normalerweise auch sofort von Hand ausrechnen und hinschreiben. Geometrische Reihen sind schon ein wichtiges Werkzeug und damit sollte man umgehen können.

18.12.2011, 15:31

TobiM92

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Ja habs jetzt raus smile

Dankeschön und einen schönen vierten Advent noch

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