Beweis Isomorphie Z[Sqrt3] und Z[Sqrt5]

12.12.2011, 16:39

Shini

Beweis Isomorphie Z[Sqrt3] und Z[Sqrt5]

Hallo zusammen

ich hab hier ein riesiges Problem mit folgender Aufgabe

Sind die Polynomringe $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ isomorph?

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe. Prinzipiell würde ich aus dem Bauch heraus behaupten, dass sie Isomorph sind, aber mir fällt auch kein passender Isomorphismus dazu ein und erst recht kein Beweis.

Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.

Danke

Shini

12.12.2011, 16:53

galoisseinbruder

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Hallo,

dass dir kein passender Iso einfällt ist nicht verwunderlich- es gibt keinen.
zum Beweis dieser behauptung:
Wohin müsste denn ein Iso $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ abbilden?

Im übrigen sind die beiden Ringe keine Poynomringe und auch nicht isomorph zu solchen, da die Wurzeln ganz sind und nicht transzendent.

12.12.2011, 17:03

Shini

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danke für die schnelle Antwort.

deinem Namen entnehme ich, dass es hier womöglich um die von mir vermutete Galoistheorie geht? Sehe ich das richtig? Denn dazu hatten wir nichts... Leider.

Ansonsten versteh ich leider nicht, worauf du hinaus willst. Alles, was ich verstanden habe ist, dass es keine Isomorphie gibt. Das widerrum bedeutet, dass ich es widerlegen muss.

Prinzipiell haben wir schon mal folgendes versucht:

Betrachte eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] -> Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{3} -> a+b\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Allerdings haben wir dann feststellen müssen, dass dies noch nicht einmal ein Homomorphismus ist.

War bzw. ist diese Herangehensweise gänzlich falsch?

Nochmal Danke! smile

Shini

12.12.2011, 17:05

Shini

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Zitat:

Wohin müsste denn ein Iso $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ abbilden?

Wahnrscheinlich vielleicht auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ??

12.12.2011, 17:15

galoisseinbruder

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Galoistheorie ist das nicht, dazu bräuchten wir Körper.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] -> Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{3} -> a+b\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Eine Abb. $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] -> Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ muss nicht von dieser Form sein.
Allerdings muss $\begin{eqnarray*} f(a+b \sqrt{3})= af(1) +b f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ gelten.
Dass grenzt die Auswahl ein.

Zitat:

Wahnrscheinlich vielleicht auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ??

Im Endeffekt läuft´s darauf raus. (Und dann gibt´s nen schönen Widerspruch)

12.12.2011, 17:23

Shini

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Ich hab da mal noch eine Frage. Wenn das keine Polynomringe sind, was sinds denn dann? Dedekindringe? Oder noch was anderes?

Sind Dedekindringe keine Polynomringe? Ich versteh das alles nicht.

Ich hab da noch eine Aufgabe. R[X] besitzt unendlich viele Unterringe, welche zu R[X] isomorph sind. Ist diese Aussage wahr oder falsch?

12.12.2011, 17:33

galoisseinbruder

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Polynom Ringe sind Ringe die Polynome enthalten. Das ist kein mathemathisch exakt definierter Begriff, aber in den Ringen hier sind definitv keine Pol. enthalten. (normalerweise kommt eine,oder mehrere Variablen X,Y,T vor).
Dedekindring ist hier nur $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$ ist nicht normal.
Polynomringe können Dedekindringe sein, da sie ja Ringe sind.
Genauso können sie HauptIdealringe, euklidische Ringe... sein.
Woher kennsst Du denn schon den begriff einen dedekindrings, der kommt i.d.R in AlgebraI nicht vor.

Dazu:
R[X] besitzt unendlich viele Unterringe, welche zu R[X] isomorph sind. Ist diese Aussage wahr oder falsch?
brauch ich mehr Kontext.

z.B. ob bei euch Ringhoms. 1 auf 1 abbilden müssen (ist auch für diese Aufgabe hilfreich)

12.12.2011, 17:41

tmo

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Der Einsetzhomomorphismus $\begin{eqnarray*} f \mapsto f(x^n) \end{eqnarray*}$ beantwortet die Frage doch unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray*} 1 \mapsto 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, weil es einfach gilt. verwirrt

12.12.2011, 17:44

Shini

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Dedekindringe hatten wir auch mal in einer Aufgabe. Allerdings nie in der Vorlesung. Der Dedekindring war $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ . Aber ich seh schon. Hier war das mit Komplexen Zahlen. Aber hieraus haben wir dann geschlossen, dass alle Ringe der Form $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{n}] \end{eqnarray*}$ Dedekindringe sind. Und wir hatten hier die Angabe, dass Elemente daraus die Form $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ haben. Dies haben wir dann auf alle Bsp so angewandt.

Daher auch meine Vermutung, dass die Elemente halt so aussehen.

Und zu der anderen Aufgabe habe ich leider nicht mehr Informationen. Höchstens noch das R sicherlich ein Ring ist. Aber mehr weiß ich auch nicht dazu.

Bilden bei uns Ringhomos von 1 auf 1 ab? Tja. Gute Frage. Prinzipiell weiß ich, dass wenn 1 Einselement von R ist, dann ist f(1) wohl Einselement von f(R), was aber nicht notwendig Einselement von R' sein muss.

Hilft das weiter?

12.12.2011, 17:55

galoisseinbruder

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Die Darstellung der Elemente der Ringe ist richtig

Zitat:

Bilden bei uns Ringhomos von 1 auf 1 ab? Tja. Gute Frage. Prinzipiell weiß ich, dass wenn 1 Einselement von R ist, dann ist f(1) wohl Einselement von f(R), was aber nicht notwendig Einselement von R' sein muss.

Da f(R) ein Unterring von R', ist das Einselement von f(R) dasjenige von R'.

Um zu sehen wie der potentielle Ringhom $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{3}] -> Z[\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$
aussieht: Was folgt aus $\begin{eqnarray*} f(a+b \sqrt{3})= af(1) +b f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
für f ?

Und zur weiteren Aufgabe hat sich jetzt ja tmo bereits geäußert.

12.12.2011, 18:09

Shini

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Was tmo sagte, bedeutet jetzt, dass es unendlich viele Unterringe von R[X] gibt? Und diese sind alle isomorph zu R[X]?

Hier handelt es sich im Übrigen um einen Polynomring, ja?

Zitat:

Ähm ja. Immernoch gute Frage. das f die Nullabbildung ist? weil ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \neq \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ gilt. Also a=b=0? Ach man. Ich kann Algebra nich leiden... Und die Sachen, die ich Versteh kommen in keiner Prüfung dran. super.

PS: aber das mit

Zitat:

Da f(R) ein Unterring von R', ist das Einselement von f(R) dasjenige von R'.

stimmt glaube ich nicht. wir hatten was anderes in der Vorlesung behauptet. Also bei diesem Bsp vielleicht schon... Aber nicht allgemein...

12.12.2011, 18:21

galoisseinbruder

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Zu den ersten 3 Fragen: ja

danach nein. Ich beantworte mal meine eigene Frage:
f ist eindeutig bestimmt durch $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .

P.S. Für Frust-Schieben sind die Weihnachtsferien da.
P.P.S. ich lasse mich gerne durch ein Gegenbeispiel überzeugen.

12.12.2011, 18:29

Shini

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Also wir hatten ein Bsp Z -> ZxZ und a -> (a,0) und 1 ist Einselement von Z und f(1) = (1,0) ist nicht Einselement = (1,1) von ZxZ. Das haben wir notiert. Passt das?

Ok. Dann hab erstmal vielen Dank für den Hilfeversuch. Ich werd da nochmal drüber nachdenken. Vielleicht kommt ja noch so ein Geistesblitz, der es mich verstehen lässt.

PS: Nach versemmelter Klausur ist der Frust leider groß und allein wegen Algebra steht mein Studium auf dem Spiel. Ich denke, da darf ich ein wenig wütend auf mich sein, weil ich das nicht kapiere... unglücklich

Ich will es ja gern verstehen... Und ich verstehe nicht, dass es so Leute wie dich gibt, die das einfach so können... unglücklich

ein wenig könntest du mir schon von deinem Wissen abgeben.

12.12.2011, 18:34

galoisseinbruder

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Gutes Gegenbeispiel, da kann ich nichts zu sagen, außer dass Du Recht hast.
Drüber nachdenken ist immer gut.

P.S. oft braucht Verständnis auch etwas Zeit.

12.12.2011, 18:41

tmo

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Noch eine kurze Anmerkung zu $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} f:R\to S \end{eqnarray*}$ nichttrivialer Ringhomomorphismus (d.h. bildet nicht alles auf 0 ab) und S nullteilerfrei, so kriegt man in der Tat $\begin{eqnarray*} f(1_R)=1_S \end{eqnarray*}$ geschenkt, denn es ist mit $\begin{eqnarray*} x := f(1_R) \end{eqnarray*}$ :

Es ist $\begin{eqnarray*} x(x-1_S)=f(1_R)^2-f(1_R)=f(1_R^2)-f(1_R)=0 \end{eqnarray*}$

Wegen der Nichttrivialität von f können wir $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ausschließen, womit uns die Nullteilerfreiheit $\begin{eqnarray*} x=1_S \end{eqnarray*}$ liefert.

In unserm konkreten Beispiel (also die ursprüngliche Aufgabe aus dem Thread) hatten wir es mit nullteilerfreien Ringen zu tun, also können wir da ruhig von $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ ausgehen (denn nichttrivial muss ein Isomorphismus sowieso sein). Das macht die Aufgabe ein bisschen leichter, weil wir $\begin{eqnarray*} f(3)=3 \end{eqnarray*}$ kriegen.

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