Logarithmus und Exponentialgleichung durch Substitution lösen

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mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmus und Exponentialgleichung durch Substitution lösen
Meine Frage:
Hallo! Hier ist die Aufgabe, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:

5*5^x + 5^-x = 6

Meine Ideen:
Da ja ein + in der gleichung vorhanden ist kann man die logarithmusgesetze nicht einsetzen. Somit bleibt ja nur noch die Substitution vorhanden. Leider habe ich keine Ahnung welche Zahl ich substituieren kann um z², z, und eine normale Zahl zu bekommen, um die p/q formel anzuwenden... Die lösung der aufgabe ist: 0 und -1
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Du substituierst einfach 5^x mit z und denkst daran, dass gilt:



Dann bekommst du deine quadratische Gleichung in z!

Gruß

Johnsen
mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich komme irgendwie trotzdem nicht weiter...

dann hätte ich ja 5*5^x + 1/5^x - 6

soweit komme ich dann mit dem substituieren:

5*z+ 1/25z (?) - 6

ich hätte dann p und q, aber nicht die quadratzahl, oder übersehe ich da irgendwas?!
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Substitution lautet deine Gleichung dann ja:



Jetzt nehm doch mal auf beiden Seiten mit z mal, um den Bruch loszuwerden. Was steht dann da?
mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »

du bist ein genie!! dankee!!! hab die 1. lösung also 0 herrausbekommen nur -1 bekomme ich noch nicht raus?! Diese aufgabe macht mich noch fertig...

Ich habe z² + 1/5 z - 6/5 als ausgangsgleichung raus. Das ausrechnen komm ich auf

z1: 1

z2: -6/5

Resubstituieren:

5^x = 1
xlog5 = log1
x = 0 <- 1. richtige lösung

5^x = -6/5
xlog5 = -log6/5
x = -0.113 <- die lösung müsste aber -1 sein?!?!

Tut mir leid aber die aufgabe schafft mich unglücklich
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

z2 = -6/5 stimmt nicht! Da muss was anders rauskommen! Nochmal nachrechnen!
 
 
mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »

also ich weiß echt nicht wo mein fehler ist... ich hab es 3 mal nachgerechnet und bei mir kommt immer dasselbe raus unglücklich Hier mal meine komplette rechnung

5z + 1/z - 6 = 0
5z²+ z - 6 = 0
z² + 1/5z - 6/5 = 0


- 1/5/2 +- wurzel( (1/5/2)² + 6/5 )

- 2/5 +- 11/10

z1 = 1 z2 = -6/5

Ich finde dort nicht meinen fehler...
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja zum Beispiel ist (1/5)/2 = 1/10 !!
mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »

hää?!?!?! wie bin ich auf -2/5 gekommen!! Natürlich sind das 1/10 ich hab auch mit 1/10 weitergerechnet und es kommt trotzdem -6/5 raus!! Ich glaube langsam die vorgegebene Lösung ist falsch, oder haben sie es schon gerechnet und sind auf -1 gekommen?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast auch vollkommen falsch mit z malgenommen!!

es muss so heißen:

5z²+1-6z=0

Überprüf das nochmal!
mathemathemathe Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön! es tut mir sehr leid, dass ich mich so blöd angestellt habe... Eigentlich mache ich nicht solche dummen fehler. Trotzdem danke für deine geduld und deine hilfe!!!
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