Polynomfunktion 3. Grades aus Nullstellen konstruieren

12.12.2011, 17:23

Cherky

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Polynomfunktion 3. Grades aus Nullstellen konstruieren

Meine Frage:
Nabend Leute,
ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen. Ist sicherlich auch nichts Großes, ich stehe nur grad irgendwie auf dem Schlauch. Ich schreibe die Übungsaufgabe grad einfach mal hin;
"Eine Polynomfunktion 3. Grades besitzt in x1=5 eine doppelte und x2=8 eine einfache Nullstelle und schneidet die y-Achse bei y(0)=100. Wie lautet die Gleichung der Funktion?"

Meine Ideen:
Ich dachte mir Anfangs die Nullstellen als Linearfaktoren aufzuschreiben und die Gleichung daraus zu berechnen. Nur weiß ich grad garnicht wie ich die doppelte Nullstelle mit einbeziehen soll und ob der Schnittpunkt mit der y-Achse relevant ist.
Mein Ansatz sah also wie folgt aus;
f(x)=(x-5)^2*(x-8)
Das Problem was ich nun habe, die x-Achse wird richtig an den angegebenen Punkten geschnitten. Allerdings ist der Schnittpunkt mit der y-Achse im negativ-Bereich und auch nichtmal bei -100.

Ich hoffe Ihr könnt mir da irgendwie weiterhelfen.
Danke schonmal und noch einen schönen Montag Abend,
der Cherky

12.12.2011, 17:31

Tremonia

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RE: Polynomfunktion 3. Grades aus Nullstellen konstruieren

Zitat:

Original von Cherky
Meine Frage:
f(x)=(x-5)^2*(x-8)

der Cherky

Soweit gut aber was soll rauskommen für f(x=0)?
Du müsstest das ausmultiplizieren und dann dafür sorgen das die Vorgabe auch erfüllt ist.

12.12.2011, 17:37

Johnsen

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Sagen wir es mal so, du hast nicht bedacht, dass vor dem x³ deines Polynoms ja auch noch ein Faktor stehen kann, denn allgemein sieht es ja so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ oder eben $\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$

Und mit der Bedingung f(0)=100 wird der Faktor a festgelegt!

Gruß

Johnsen

12.12.2011, 18:08

Cherky

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Gut, also ist es schonmal richtig dass ich die Nullstelle x1=5 auch in den Linearfaktoren quadriert habe.
Wenn ich das Ganze nun ausmultipliziere komm ich dann auf
$\begin{eqnarray*} x^{3}-18x^{2}+105x-200 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß aber nicht wie ich nun auf den richtigen Vorfaktor komme.

12.12.2011, 18:10

Tremonia

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Setz doch mal x=0 ein was musst du dann noch dazu addieren damit f(0) =100 wird?

12.12.2011, 18:15

Cherky

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Öhm... 300?
Sry, ich weiß mir muss man das alles aus der Nase ziehen. Aber ich hab sowas noch nie gemacht.
300 ist aber jetzt nicht der Vorfaktor oder?

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12.12.2011, 18:28

Cherky

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Also ich hab 300 mal als Vorfaktor genommen und den graphen geplottet. Jetzt kommts Vorne und Hinten nicht mehr hin...
Ich häng total grad.

12.12.2011, 18:37

Johnsen

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Also 300 ist mit Sicherheit nicht richtig! Du hast falsch aufgelöst! Nimm doch diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$

Und nun auf dein problem angewandt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x-5)^2(x-8) \end{eqnarray*}$
Jetzt weißt du, dass f(0) 100 sein soll, also:

$\begin{eqnarray*} a(0-5)^2(0-8) = 100 \end{eqnarray*}$

Das löst du jetzt nach a auf, und es kommt was ganz anderes als 300 heraus!

Und dann stimmts nämlich auch!

Gruß

Johnsen

12.12.2011, 18:43

Cherky

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Warum wird denn auf einmal (0-8) auch quadriert?

12.12.2011, 18:44

Johnsen

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auch ich darf mich mal verschreiben!

$\begin{eqnarray*} a(0-5)^2(0-8) = 100 \end{eqnarray*}$

12.12.2011, 18:51

Cherky

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Das wollte ich damit auch nicht sagen. Jeder darf sich mal verschreiben. Ich war nur grad irritiert =).
Ok ich komme jetzt auf a=-100

12.12.2011, 18:52

Johnsen

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Nein, a ist auch nicht -100!

12.12.2011, 18:52

Cherky

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Oh, das war wohl nichts...

12.12.2011, 18:54

Johnsen

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Dir muss ja klar sein, dass a kleiner 1 sein muss, denn -5² ergibt 25 und das noch mal -8 ist größer 100. Also muss a kleiner 1 sein. Aber was denn genau? Das ist ja nicht zu schwer, diese Gleichung zu lösen:

a*(-5)²*(8)=100

12.12.2011, 18:58

Cherky

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Ach, verflucht. Ich sollte es besser sein lassen für heute...
Ok, also ich hab für a jetzt 1/2 raus (Ich trottel hab subtrahiert anstatt dividiert, so weit ist es schon). Dann ist der Schnittpunkt mit der y-Achse aber im negativ-Bereich. Setz ich vor den Vorfaktor nun ein - kommts hin. Dann passt alles.
Letzteres ist aber nur mit probieren gelungen, das kanns ja auch irgendwie nicht sein. Oder was hab ich nun wieder übersehen?

12.12.2011, 19:00

Cherky

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Ne, habs jetzt, danke. War die letzte Aufgabe für heute, hab das Minus nicht mitgenommen =). Jetzt ist es klar und richtig.
Danke für deine Geduld und Hilfe!

Gruß

12.12.2011, 19:01

Johnsen

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ja, es muss ja auch -1/2 heißen, das kommt direkt aus der Formel:

$\begin{eqnarray*} a\cdot (0-5)^2\cdot (0-8)=100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \cdot 25 \cdot (-8) = 100 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -200 a = 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a= -0,5 \end{eqnarray*}$

So einfach!

Gruß

Johnsen

12.12.2011, 19:04

Cherky

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Ja, das meinte ich eben.
Danke nochmal für Deine Hilfe, hast mir sehr geholfen!
Gruß

12.12.2011, 19:06

Johnsen

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gern geschehen!

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