lineare abhängigkeit

12.12.2011, 17:46

OrangeneMusik

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lineare abhängigkeit

Meine Frage:
Wir haben gerade in der Uni das Thema lineare Abbildungen.
Ich habe mir ein paar Übungen rausgesucht - leider ohne Lösungen.
Ich soll beweisen, ob folgendes eine lineare Abbildung ist:
$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^{3} zu \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) =3, F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ) =1, F(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} ) =4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider ist mein Problem schon, dass ich nicht weiß, ob diese Aussagen stimmen. Wie kann ich das überprüfen?
Wenn ich wüsste, dass sie stimmen, würde ich auf lineare unabhängigkeit überprüfen und dann auf die Eigenschaften von Homomorphismen (+, *).

12.12.2011, 18:12

Mulder

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RE: lineare abhängigkeit

Zitat:

Original von OrangeneMusik
würde ich auf lineare unabhängigkeit überprüfen und dann auf die Eigenschaften von Homomorphismen (+, *).

Mach das mal. Ob F linear ist, kannst du genau damit herausfinden.

12.12.2011, 18:21

OrangeneMusik

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Zur Addition:
$\begin{eqnarray*} <br /> F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} ) <br /> = F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) + F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ) +<br /> F(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} ) <br /> \end{eqnarray*}$
oder ist das falsch? wäre richtig: (3+1+4)=3+1+4

Das ist genau mein Problem! ist $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \end{eqnarray*}$ und so weiter? wie kann ich Das überprüfen?

12.12.2011, 18:23

Mulder

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Die drei Vektoren da oben sind doch offensichtlich linear abhängig (zumindest kannst du das zeigen). Stell einen der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden dar.

DANN lass F mal auf diese Gleichung los.

12.12.2011, 18:31

OrangeneMusik

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ahajaaaaa.... danke
aber kann das dann überhaupt noch eine lineare abbildung sein, wenn die linear abhängig sind?

12.12.2011, 18:36

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
aber kann das dann überhaupt noch eine lineare abbildung sein, wenn die linear abhängig sind?

Natürlich. Es müssen eben die Eigenschaften einer linaren Abbildung erfüllt sein. Du kannst ja testen, ob F diese Eigenschaften bei den drei obigen Vektoren erfüllt. Das kannst du machen, weil angegeben ist, worauf F die drei obigen Vektoren abbildet. Das ist doch überhaupt der Sinn der Aufgabe.

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12.12.2011, 18:49

OrangeneMusik

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hm...
macht echt alles sinn.
aber ich verstehe es nicht wirklich. sry

könntest du es vielleicht an einem beispiel zeigen?

12.12.2011, 18:57

Mulder

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Wie sieht eine Linarkombination der drei Vektoren aus? Schreib es doch einfach mal hin.

12.12.2011, 19:00

OrangeneMusik

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 3\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.12.2011, 19:03

Mulder

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Gut. F als Abbildung ist wohldefiniert, also muss doch auch

$\begin{eqnarray*} F \left ( \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \right ) = F \left ( \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 3\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

gelten. Ist klar, oder? Wenn a=b ist, dann ist natürlich auch F(a)=F(b).

Wenn F linear wäre, müsste sie auch die beiden Eigenschaften einer linearen Abbildung erfüllen. Rechne einfach nach, ob das hier der Fall ist.

12.12.2011, 19:13

OrangeneMusik

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du meinst:
$\begin{eqnarray*} <br /> F(\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}) = F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 3\times F\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} )= F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) - 3\times F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} F(\lambda \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}) = F(\lambda (\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) - 3\times F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} )) = \lambda \times F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) - 3\times \lambda \times F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
woraus folgen würde, dass es eine lineare abbildung ist?

12.12.2011, 19:14

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
$\begin{eqnarray*} <br /> F(\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}) = F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 3\times F\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} )= F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) - 3\times F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Das ist brauchbar, alles weitere vergessen wir mal wieder.

Jetzt schau mal in der Aufgabenstellung, du kannst da doch nun Zahlen einsetzen! Du kennst doch die Bilder von diesen drei Vektoren, die sind gegeben.

12.12.2011, 19:44

OrangeneMusik

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okay, dann kommt da doch
4=1-3*3
das stimmt nicht.
kann ich jetzt sagen, dass es keine lineare abbildung ist, ohne voreilig zu sein?

12.12.2011, 19:48

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
okay, dann kommt da doch
4=1-3*3
das stimmt nicht.
kann ich jetzt sagen, dass es keine lineare abbildung ist, ohne voreilig zu sein?

Genau.

F ist nicht linear, weil schon bei diesen drei Vektoren die Eigenschaften einer linearen Abbildung verletzt worden sind. Wäre F linear, hätte auf beiden Seiten das gleiche rauskommen müssen.

12.12.2011, 19:53

OrangeneMusik

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gut vieeeeelen dank!!!!

ich habe noch eine aufgabe gefunden. wollte mal gucken, ob es bei der genauso klappt/ ich es allein anwenden kann.
doch erstes problem: die neunen sind linear unabhängig.
hat das schon eine direkte auswirkung?
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3, F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 1, F(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) = 4, \end{eqnarray*}$

DANKE (:

12.12.2011, 19:59

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
hat das schon eine direkte auswirkung?

Du bist für Vorschläge zuständig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was meinst du?

12.12.2011, 20:27

OrangeneMusik

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ich würde sagen, dass es deshalb keine lineare abbildung sein kann, da es wie gesagt linear unabhängig

12.12.2011, 20:41

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
ich würde sagen, dass es deshalb keine lineare abbildung sein kann, da es wie gesagt linear unabhängig

Diese Begründung ist vollkommen sinnlos. Nach der Logik dürfte es überhaupt gar keine lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} F : \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$

geben, denn man kann immer irgendwelche linear unabhängigen Elemente im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ finden.

12.12.2011, 20:49

OrangeneMusik

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okidoki. da hast du mal wieder vollkommen recht!

also wie anwendung von addition und multiplikation?
aber hier habe ich keine gleichung, auf die ich das anwenden könnte
$\begin{eqnarray*} 0\times F(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) +<br /> 0\times F(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ) +<br /> 0\times F(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) = 0 \end{eqnarray*}$
aber das gilt ja mit allen zahlen, die ich einsetze. moment - dann könnte ich ja sagen, dass es auf jeden Fall eine lineare Abbildung ist. Aber dann wären das ja alle von linear unabhängigen... hm

12.12.2011, 20:53

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
aber hier habe ich keine gleichung, auf die ich das anwenden könnte

Und damit auch nichts, was irgendwie schiefgehen könnte.

12.12.2011, 20:55

OrangeneMusik

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also ist es eine lineare abbildung?
erschreckend unwarscheinlich einfach... (:

12.12.2011, 21:00

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
erschreckend unwarscheinlich einfach... (:

Aber genau so ist es. Denn woran sollte es scheitern?

Bei solchen Aufgaben guckt man immer erstmal ob die Vektoren, deren Bilder man kennt, linear abhängig sind. Sind sie es, guckt man weiter und schaut, ob etwas schief geht. So wie bei deiner ersten Aufgabe. Sind sie es nicht, kann doch gar nichts passieren.

Sowieso sind lineare Abbildungen durch die Bilder einer Basis bereits eindeutig festgelegt. Und wir haben hier drei linear unabhängige Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , dessen Dimension bekanntlich $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist (wenn wir diesen Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten), also bilden diese drei Vektoren auch eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

12.12.2011, 21:04

OrangeneMusik

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also wenn ich deine letzte Meldung richtig deute,
dann würde das doch wirklich bedeuten, dass sobald das linear unabhängig ist, es immer eine lineare Abbildung ist...

Dann wäre auch $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} , F(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} ) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} , F(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
eine lineare Abbildung, da es linear unabhängig ist...

Wenn das stimmt, dann habe ich es verstanden. Danke!!

12.12.2011, 21:11

Mulder

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RE: lineare abhängigkeit

Zitat:

Original von OrangeneMusik
dann würde das doch wirklich bedeuten, dass sobald das linear unabhängig ist, es immer eine lineare Abbildung ist...

Dieses "das" ist mal wieder extrem schlampig. Linear unabhängig müssen die Elemente im Urbild sein. Das ist entscheidend.

Edit: Du hast dich sogar wohl noch irgendwo verschrieben, denn da steht zwei Mal (1,2).

12.12.2011, 21:15

OrangeneMusik

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okay stimmt...
aber das ist doch jetzt nicht mehr linear abhängig!...

12.12.2011, 21:19

Mulder

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Zitat:

Original von OrangeneMusik
aber das ist doch jetzt nicht mehr linear abhängig!...

Schon wieder dieses "das".

Du musst einfach sauberer formulieren. Ich will dich damit nicht ärgern, es ist einfach notwendig, dass du dich präziser ausdrückst. Was ist "das"?

Edit: Okay, du hast nun eins der beiden (1,2) durch (2,1) ersetzt. Diese drei Urbilder sind aber immer noch linear abhängig.

12.12.2011, 21:24

OrangeneMusik

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stimmt du hast recht.
ich meinte die elemente im urbild waren meiner meinung nach linear unabhängig.

gut du meinst, die elemente im urbild seien linear abhängig. kann auch sein. ich sehe es im moment noch nicht.
wie denn? wenn ich (1,2)=(3,1)-2(1,2) stimmt es nicht, (3,1)=(1,2)+2(2,1) auch nicht, ... wie passt es?

12.12.2011, 21:27

Mulder

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Das führt auf ein simples lineares Gleichungssystem, das solltest du lösen können.

12.12.2011, 21:30

OrangeneMusik

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okay. das ist jetzt peinlich.
das gleichungssystem, ist das x+2y, 3x+y und 2x+y?
aber was ist das alles =?

12.12.2011, 21:35

Mulder

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Also es scheint wirklich noch gravierende Lücken zu geben. Aus

$\begin{eqnarray*} \binom{1}{2} = a \cdot \binom{3}{1} + b \cdot \binom{2}{1} \end{eqnarray*}$

ergibt sich das LGS

$\begin{eqnarray*} 1 = 3a+2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=a+b \end{eqnarray*}$

Ich kann auch nur wieder auf meinen allerersten Beitrag verweisen: Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 2 und dementsprechende KANN es gar nicht drei linear unabhängige Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geben.

12.12.2011, 21:44

OrangeneMusik

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Danke
vielen Dank für die erneute Hilfe!

Meine Lücken können/ werden vor allem daran liegen, dass ich erst in der 9. Klasse bin und als SchülerStudentin mein erstes Semester an der Uni bin.
Ich hatte die ganze 9-13 vom Gymnasium noch nicht.

Deshalb auch noch einmal vielen lieben Dank für die Hilfe, die Ansätze und zum Teil auch die Lösung.
Jetzt habe ich es wirklich verstanden. Das ist mir immer sehr wichtig.
Danke!

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