Noethersche Ordnung

12.12.2011, 19:09	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Noethersche Ordnung Guten Abend, ich soll zeigen, dass die Lexikographische Ordnung $\begin{eqnarray} (m,n)\leq_{Lex} (m',n') : \Leftrightarrow m < m ' \vee (m = m' \wedge n \leq n') \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray}$ eine noethersche Ordnung ist. Bei einer noetherschen Ordnung besitzt jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes Element. Desweiteren hatten wir ein Lemma: Eine Ordnung ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende Kette stationär wird. So ich hatte bis jetzt nur die Idee mit der Wohlordung der natürlichen Zahlen zu argumentieren. Da jede Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ein kleinstes Element bezüglich der Ordnungsrelation $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ besitzt gilt dies insbesonders auch für <. Allerdings ist "<" keine Ordnungsrelation . Darf ich so überhaupt argumentieren? Ist das überhaupt der richtige Ansatz? Schönen Gruß Der Joker
12.12.2011, 19:15	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zum Beweis: Nimm mal an, dass es bzgl $\begin{eqnarray} \leq_\text{Lex} \end{eqnarray}$ eine unendlich absteigende Kette gibt und führe dies zu einem Widerspruch. Dich dabei auf die Wohlordnung der natürlichen Zahlen zu berufen, ist der richtige Ansatz. Doch < ist sehr wohl eine Ordnungsrelation und zwar der strikte Teil (heißt das auch auf Deutsch strikt?) der Relation $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ . Darüber musst du dir keine Gedanken machen. Denn die Gleichheit $\begin{eqnarray} u=v \end{eqnarray}$ ist ja definiert über $\begin{eqnarray} u\leq v\ \land\ v\leq u \end{eqnarray}$ und die strikte Relation < ist dann einfach nur eine Teilmenge: $\begin{eqnarray} <\subseteq \leq\setminus = \end{eqnarray}$
12.12.2011, 19:58	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok schon Mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe nun folgendes versucht: Angenommen es gilt $\begin{eqnarray} (m_{i+1},n_{i+1}) \leq_{Lex} (m_{i},n_{i}) \forall i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Fall 1: Da $\begin{eqnarray} m_{i} \in \mathbb N \Rightarrow \exists i \in \mathbb N: m_{i} = 0 \end{eqnarray}$ . Dies steht im Widerspruch zu $\begin{eqnarray} m_{i+1} < m_{i} \forall i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Fall 2: Da $\begin{eqnarray} m_{i} \in \mathbb N \Rightarrow \exists i \in \mathbb N: m_{i} = 0 \Rightarrow 0 = m_{i} = m_{i+1} = m_{i+2} = .. \end{eqnarray}$ . Desweiteren ist $\begin{eqnarray} (\mathbb N, \leq) \end{eqnarray}$ wohlgeordnet d.h es gibt ein $\begin{eqnarray} i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} n_{i+1} \leq n_{i} \end{eqnarray}$ stationär wird. Dann ist aber auch $\begin{eqnarray} (m_{i+1},n_{i+1}) \leq_{Lex} (m_{i},n_{i}) \forall i \in \mathbb N \end{eqnarray}$ stationär. Daraus folgt nun die noethersche Ordnung. Ist das so richtig?
13.12.2011, 09:45	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja müsste so passen, aber du musst darauf achten, dass nicht zwangsläufig 0 das kleinste Element sein muss.

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