Funktion stetig in Einschränkungen, stetig im gesamten Intervall?

12.12.2011, 19:38

-aaa-

Funktion stetig in Einschränkungen, stetig im gesamten Intervall?

Ich hoffe der Titel ist aussagekräftig genug und nicht zu lang, habe hier folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R,a<b<c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \left[a,b\right] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Es gilt zu zeigen:
Wenn
$\begin{eqnarray*} f_1:=f|_{\left[a,c\right]}:\left[a,c\right] \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2:=f|_{\left[c,b\right]}:\left[c,b\right] \rightarrow \mathbb R, x \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$
beide stetig, folgt: $\begin{eqnarray*} f: \left[a,b\right] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch stetig.

Ganz gut "vorestellen" kann ich mir das, dachte vllt wäre dies ein guter Ansatz:
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ stetig sind. daraus folgt direkt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in allen Punkten außer $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist. Bzw dass wir 2 Fälle haben. ( $\begin{eqnarray*} x \neq c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = c \end{eqnarray*}$ ), und der Fall $\begin{eqnarray*} x=c \end{eqnarray*}$ eine eigene Betrachtung benötigt. Soweit so gut?

Wir wissen dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sind. Damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch stetig in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, betrachten wir die links und rechtsseitige stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(c) \end{eqnarray*}$ .
Dies sollte sich auch direkt so zeigen lassen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to c^{-}} f(x) = f_1(c) = f_2(c) = \lim_{x \to c^{+}} f(x) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig, fehlt mir hier irgendwas? Und wenn es soweit richtig ist, muss ich zur Rechts/Linksseitigen Stetigkeit hier noch mehr schreiben, oder sollte das soweit genügen?

Und zum 2. Teil der Aufgabe, soll ich noch ein Beispiel finden für eine nicht-stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ falls wir bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ eines der Intervalle durch ein bei $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ offenes Intervall ersetzen. zb $\begin{eqnarray*} \left[a,c\right] \end{eqnarray*}$ ersetzen durch $\begin{eqnarray*} \left[a,c\right) \end{eqnarray*}$ Hier würde ich einfach als Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ \begin{array}{l l} x & \quad x\leq 1\\ x+1 & \quad x>1\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

12.12.2011, 20:07

juffo-wup

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Alles richtig und wohl ausreichend begründet. (sofern das mit der links- und rechtsseitigen Stetigkeit als bekannt vorausgesetzt werden kann)

12.12.2011, 20:26

Gastmathematiker

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RE: Funktion stetig in Einschränkungen, stetig im gesamten Intervall?

Zitat:

Original von -aaa-
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ stetig sind. daraus folgt direkt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in allen Punkten außer $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist.

Ob das als Begründung reicht, kommt darauf an, was ihr bisher so gemacht habt. Bei uns wird so eine Begründung nicht ausreichen.

12.12.2011, 21:00

-aaa-

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Naja würde für den Fall $\begin{eqnarray*} x \neq c \end{eqnarray*}$ das ganze etwas ausführlicher schreiben:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} f|_{\left[a,b\right] \backslash \left\{ c\right\} } := \left\{ \begin{array}{l l} f|_{\left[a,c\right) } & \quad x\in \left[a,c\right)\\ f|_{\left(c,b\right] } & \quad x \in \left(c,b\right]\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} f|_{\left[a,c\right]} \end{eqnarray*}$ stetig in allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in \left[a,c\right] \end{eqnarray*}$ . Also auch stetig in allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in \left[a,c\right) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \left[a,c\right) \subset \left[a,c\right] \end{eqnarray*}$ . Selbiges für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[c,b\right] \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in allen $\begin{eqnarray*} x \in \left[a,b\right] \backslash \left\{ c\right\} \end{eqnarray*}$

Das sollte so stimmen, oder nicht?

12.12.2011, 21:13

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von -aaa-
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} f|_{\left[a,c\right]} \end{eqnarray*}$ stetig in allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in \left[a,c\right] \end{eqnarray*}$ . Also auch stetig in allen $\begin{eqnarray*} x_0 \in \left[a,c\right) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \left[a,c\right) \subset \left[a,c\right] \end{eqnarray*}$ . Selbiges für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[c,b\right] \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in allen $\begin{eqnarray*} x \in \left[a,b\right] \backslash \left\{ c\right\} \end{eqnarray*}$

Das sollte so stimmen, oder nicht?

Wie gesagt, ich weiß nicht ob das bei euch reicht, bei uns nicht, denn mit der Argumentation da oben hast du nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f|_{\left[a,c\right]} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left[a,c\right) \end{eqnarray*}$ stetig ist, der Übergang zur Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fehlt.

12.12.2011, 21:36

-aaa-

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Was wäre denn ein ausführlicher Ansatz, da ich hier vllt Wissen aus meinem vorherigem Studium (wechsel Physik->Mathe nach 2 Semestern) mit dem jetzigen Studium vermische bin ich mir da nicht ganz sicher ob das soweit schon vorkam in der Ana I Vorlesung.

12.12.2011, 21:42

Gastmathematiker

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Im Prinzip ist das mit der Definition ( $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ ) ein Zweizeiler.

13.12.2011, 07:03

juffo-wup

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Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft. D.h. für Stetigkeit in einem Punkt ist immer nur eine (beliebig kleine) Umgebung um den Punkt relevant. Das ist eine grundlegende Eigenschaft von Stetigkeit, die hier (sehr einfach) zum Einsatz kommt.

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