Moment-erzeugende Fkt.

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12.12.2011, 21:07	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment-erzeugende Fkt. Meine Frage: Bestimme für $\begin{eqnarray} X\sim \operatorname{Gamma}(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ die Kumulanten-erzeugende Funktion und bestimme mit deren Hilfe den Erwartungswert und die Varianz von X. Meine Ideen: Also ich errechne zunächst die Momenten-erzeugende Funktion (dann davon den log zu nehmen, ist ja nicht mehr schwer): $\begin{eqnarray} M_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x) \, dx=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-(\beta-t)\cdot x} \, dx \end{eqnarray}$ Weiter komme ich an dieser Stelle jedoch nicht. Kann mir jemand bitte einen Tipp geben, wie ich weiter machen muss?
12.12.2011, 21:16	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann $\begin{eqnarray} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-(\beta-t)\cdot x} \, dx \end{eqnarray}$ umformenn zu $\begin{eqnarray} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)\cdot (\beta-t)^{\alpha}}\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$
12.12.2011, 21:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso fällt in dem Integranden im Exponenten der Faktor $\begin{eqnarray} (\beta-t) \end{eqnarray}$ weg, wenn man das Integral durch $\begin{eqnarray} (\beta-t)^{\alpha} \end{eqnarray}$ dividiert? Das sehe ich nicht. Ansonsten ist mir klar, daß man dann die Gamma Funktion wegkürzen kann und erhält $\begin{eqnarray} \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta-t)^{\alpha}} \end{eqnarray}$ .
12.12.2011, 21:34	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf kommt man wenn man das ursprüngliche Integral per partieller Integration integriert.
12.12.2011, 21:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist ja immer die Frage, wie man's anstellt. $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-(\beta -t)x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)=x^{\alpha-1} \end{eqnarray}$ Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \left[e^{-(\beta-t)x}\cdot \frac{x^{\alpha}}{\alpha}\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}e^{-(\beta-t)x}\cdot x^{\alpha-1} \, dx \end{eqnarray}$
12.12.2011, 22:00	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, gerade umgekehrt muss mans machen (im übrigen wär das hintere Integral auch nicht richtig :P ). Man möchte ja gerade ausnutzen dass nach $\begin{eqnarray} \alpha-1 \end{eqnarray}$ Iterationen das Produkt rausfällt, wenn man jeweils $\begin{eqnarray} x^{\alpha-1} \end{eqnarray}$ ableitet
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12.12.2011, 22:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} f'(x)=x^{\alpha-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=e^{-(\beta-t)x} \end{eqnarray}$ ?
12.12.2011, 22:29	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wär ja nochmal das Gleiche wie oben?
12.12.2011, 22:30	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bleibt ja eigentlich nur noch: $\begin{eqnarray} f(x)=x^{\alpha-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(x)=e^{-(\beta-t)x} \end{eqnarray}$ Ich habe dann: $\begin{eqnarray} \left[x^{\alpha-1}\cdot\frac{-e^{-(\beta-t)x}}{(\beta-t)}\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}\cdot \frac{-e^{-(\beta-t)x}}{(\beta-t)} \, dx \end{eqnarray}$ Der erste Teil ist 0. Habe ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\beta-t)}\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-(\beta-t)x} \, dx \end{eqnarray}$ Das Integral ist wieder das anfängliche Integral... Entweder habe ich wieder ein Brett vorm Kopf oder mich verrechnet..
14.12.2011, 08:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das keiner Antwort mehr würdig? Ich lande immer wieder bei dem Ergebnis des letzten Posts. Wie geht es da weiter?
14.12.2011, 10:40	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast beim hinteren Teil vergessen f abzuleiten

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