Koeffizienten einer Laurententwicklung, Rekursionsformel

12.12.2011, 23:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten einer Laurententwicklung, Rekursionsformel Guten Abend, ich knobel mal wieder an einer Aufgabe und scheine den Wald vor lauter Indizes nicht mehr zu sehen. Sei $\begin{eqnarray} U\subset\mathbb C \end{eqnarray}$ offen, $\begin{eqnarray} z_0\in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:U\rightarrow\mathbb C \end{eqnarray}$ holomorph mit Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{k=n}^\infty a_k(z-z_0)^k,~a_n\neq 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Es soll nun eine Rekursionsformel für die Koeffizienten der Laurententwicklung von $\begin{eqnarray} \frac 1{f} \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Bisher: $\begin{eqnarray} \frac 1{f} \end{eqnarray}$ hat in $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ eine isolierte Singularität, einen Pol der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ daher existiert auf einer geeigneten punktierten Umgebung von $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ eine Laurententwicklung $\begin{eqnarray} \frac 1{f(z)}=\sum\limits_{k=-n}^\infty b_k(z-z_0)^k \end{eqnarray}$ . Um die $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ zu bestimmen, setzen wir an mit $\begin{eqnarray} f\cdot \frac 1f \equiv 1 \end{eqnarray}$ und versuchen es mit einem Koeffizientenvergleich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=n}^\infty \left(a_k(z-z_0)^k\right)\cdot \sum\limits_{k=-n}^\infty \left(b_k(z-z_0)^k\right) = \sum\limits_{k=-n}^\infty \left(a_k(z-z_0)^k\right)\cdot \sum\limits_{k=-n}^\infty \left(b_k(z-z_0)^k\right) \end{eqnarray}$ , wenn man $\begin{eqnarray} a_k=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k<n \end{eqnarray}$ setzt. Indexverschiebung und bilden des Cauchyprodukts: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(a_{k-n}(z-z_0)^{k-n}\right)\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty \left(b_{k-n}(z-z_0)^{k-n}\right) = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k (z-z_0)^{k-n} \end{eqnarray}$ Bei der Bestimmung der $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ bleibe ich jetzt hängen, irgendwann kommen mir immer zu viele Variablen da rein und ich werf die durcheinander. Ziel sollte sein, über einen Koeffizientenvergleich sagen zu können: $\begin{eqnarray} c_n=1, c_k=0~\forall k\neq n \end{eqnarray}$ und daraus die $\begin{eqnarray} b_k \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Hätte jemand einen Anstoß, wie ich das möglichst einfach aufstellen könnte ohne mit tausend Variablen um mich zu werfen (oder gerne auch einen anderen Weg, falls dieser grottig sein sollte)?
13.12.2011, 00:16	topo	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm statt indexverschiebung in beiden summen erst mal was herausziehen $\begin{eqnarray} (z-z_{0})^{n} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (z-z_{0})^{-n} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(z)} \end{eqnarray}$ diese beiden Teile kürzen sich dann schon mal weg bei der Multiplikation $\begin{eqnarray} f(z)\cdot\frac{1}{f(z)} \end{eqnarray}$ dann, vor der Multiplikation noch beide summen verschieben (um $\begin{eqnarray} -n \end{eqnarray}$ (bei $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ bzw. um $\begin{eqnarray} +n \end{eqnarray}$ (bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(z)} \end{eqnarray}$ ) um die Indezies zu vermindern, vielleicht noch $\begin{eqnarray} \alpha_{k}=a_{k+n} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \beta_{k}=b_{k-n} \end{eqnarray}$ setzen (ist übersichtlicher und kann man am Ende wieder Rückwärts machen) dann noch das Cauchyprodukt bilden, in der Summe (die dann bei $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ anfängt) dann $\begin{eqnarray} c_{0}=1 \end{eqnarray}$ setzen und dann die restlichen auf Null und dann damit weiterrechnen...
13.12.2011, 00:39	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenns nicht nötig ist: Der weg von Topo führt mit Gewissheit zum Ziel( habs selber auch so gemacht). Die Rekusionsformel kriegt man dann aus den Koeffizienten des Cauchyprodukts.
13.12.2011, 13:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vorzeichenfehler wars, schon blöd wenn man addiert statt zu subtrahieren. Danke euch.

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