Erste Kollision

12.12.2011, 23:39	Meisi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Kollision Hallo ihr Lieben! Ich muss für meine Stochastikvorlesung folgende Aufgabe lösen: Gehen Sie davon aus, dass das Jahr 365 Tage hat. Wie groß muss k sein, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Mehrfachgeburtstag bei k Personen mindestens 0,75; 0,9; 0,95 ist? Sie können k durch die untere Schranke, die Grenzwertaussage oder experimentell mit R bestimmen. Bisher hatten wir k immer gegeben und auch bei den Aufgaben, die ich ergooglet habe, war immer nach der Wahrscheinlichkeit gefragt. Gibt es hier ein schlaues Köpfchen, der mir weiterhelfen kann? Liebe Grüße, Anika
13.12.2011, 00:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du schon gegoogelt hast, dann könntest du doch die explizite Formel für p(k) reinstellen. Über die Umkehrfunktion könntest du dir in den angesprochenen Fällen auch schon mal evtl. ansatzweise Gedanken unter "Meine Ideen" machen. So ist es Brauch an board
13.12.2011, 07:04	Meisi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, hätt ich vllt. gleich anschließen können. Da hast du recht Okay ... was ich mir mit Hilfe von Google und dem Buch (der Vorlesung) schon erschlossen habe: (365!)/365"hoch"k = 0,75 bzw. 0,9 bzw. 0,95 Also: ich schaffe es noch die 365"hoch"k auf die andere Seite zu multiplizieren und meinetwegen auch durch die 0,75 bzw. 0,9 bzw. 0,95 wieder zu dividieren. Aber wie bekomme ich das "hoch"k weg? Dann: Ich muss ja bei 365! rechnen: 365(365-1)(365-2)...(365-k) Woher weiß ich, dass ich k erreicht habe? Das Problem: In der Vorlesung wurde darüber nur gesprochen, d.h. der Prof hat es uns "an uns selbst" gezeigt, dass das geht. Wir haben dies bzgl. aber keine Fomel aufgeschrieben und auch der Henze (das Buch zur Vorlesung) gibt nicht wirklich viel her. Danke für die schnelle Antwort! Liebe Grüße
13.12.2011, 21:00	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn $\begin{eqnarray} \hat E(k) \end{eqnarray}$ : keine zwei der k Personen haben den gleichen Geburtstag gilt, folgt $\begin{eqnarray} p(\hat E(k))= \frac {365\cdot 364\cdot 363 \dots (365-k+1)}{365^k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(\hat E(k))= \frac {365 !}{365^k\cdot k!} \end{eqnarray}$ nach Stirling gilt aber $\begin{eqnarray} k! \approx \sqrt{2\pi k}\cdot \left (\frac {k}{e}\right)^k \end{eqnarray}$ demnach $\begin{eqnarray} p(\hat E(k))= \frac { \sqrt{365\cdot 2 \pi}(\frac {365}{e})^{365} }{365^k\cdot \sqrt{2\pi k}\cdot (\frac {k}{e})^k } \end{eqnarray}$ in der ersten Aufgabe gälte $\begin{eqnarray} p( E(k)) >\frac 34 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p( \hat E(k)) \leq\frac 14 \end{eqnarray}$ mit Kürzen und Logarithmieren müsste ein Term entstehen, der grafisch oder numerisch lösbar sein sollte.

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