Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0? |
12.12.2011, 23:55 | Leser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0? Hallo zusammen, Ich weiß nicht, wie ich das folgende formal zeigen kann: Sei X eine stetige Zufallsvariable, die um Null symmetrisch ist. Dann ist ja (klar soweit). Ich möchte nun zeigen, dass dann ebenfalls ist. Intuitiv ist mir das irgendwie klar, aber wie kann man das formell zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe Meine Ideen: Ich hab wirklich keine Idee und brauch das innerhalb eines Beweises für eine Übungsaufgabe. |
||||
13.12.2011, 10:23 | Zündholz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0? Hallo, Wie hast du denn gezeigt, dass E[X] = 0? Im prinzip geht das für E[X^3] analog. Ich würde das folgendermaßen machen: Betrachte mithilfe einer Indikatorfunktion eine Art Fallunterscheidung (1) X > 0 (2) X < 0. Ziehe den Erwartungswert auseinander und setze ein was gegeben ist. (Dieses Vorgehen ist analog zur Aufteilung des Integrationsbereichs). Schöne Grüße |
||||
13.12.2011, 10:33 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht notwendig: Bei der Cauchyverteilung stimmt das z.B. nicht: Da existiert der Erwartungswert gar nicht. Die Aussage solllte also präzisiert werden: Wenn der Erwartungswert bzw. überhaupt existiert, dann ist er auch gleich Null. |
||||
13.12.2011, 16:01 | Leser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schon mal für eure Hilfe, Zündholz und René. @ René: Danke für die kleine Anmerkung @ Zündholz: Ich habe direkt aus der definition der Symmetrie hergeleitet. Das war nicht sonderlich schwer. Wenn ich nun herleiten soll, geht das, indem ich zeige, dass symmetrisch verteilt ist. Aber genau das krieg ich nicht hin... |
||||
13.12.2011, 16:06 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann werden wir mal konkret: Die Berechnungsformel bei stetigen mit Dichte lautet also für heißt das . Das kannst du nun in zwei Integrale und aufteilen und in dem einen davon substituieren... |
||||
13.12.2011, 16:56 | Leser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, Réne. ginge auch alternativer Ansatz? Nach Veraussetzung ist X symmetrisch um Null, d.h. Da die dritte Potenz anordnungserhaltend bezüglich ist, ist dies äquivalent zu also Somit ist symmetrisch verteilt. Es folgt, dass . (Ich hab ganz am ende unterschlagen, dass der existiert.) |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
13.12.2011, 17:00 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du diesen Teil schon nachgewiesen hast, dann ja. |
||||
13.12.2011, 19:05 | Leser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass bei einer symmetrischen Verteilung und einem existierenden Grenzwert folgt, dass dieser gleich null ist, das hab ich schon nachgewiesen. Also müsste ich dann alles haben, ja? Darf ich denn annehmen, dass der erwartungswert für X^3 existiert? Auch dass erscheint mir irgendwie intuitiv offensichtlich, aber müsste ich das noch nachweisen? |
||||
13.12.2011, 19:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das muss vorausgesetzt werden, etwa in der Form . Es gibt durchaus nullsymmetrische Zufallsgrößen, wo Erwartungswert und Varianz existieren, das dritte Moment aber nicht - Beispiel: EDIT: Sorry, kleiner Fehler bei der Konstante - korrigiert. |
||||
13.12.2011, 23:17 | Leser | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ René Gruber: Darf ich da einfach x=-t substutiuieren? Ich dachte ich dürfte das nur, wenn unter dem Integral ein Term der Form steht, und dann könnte ich g(x) durch u substituieren. Aber das ist doch hier nicht unbedingt gegeben, oder darf ich einfach relativ frei y durch -t ersetzen? Ok, ich habs...wir lesen die Substitutionsformel quasi "rückwärts" und dann ist es eigentlich ganz leicht....vielen Dank für eure Hilfe! |
||||
14.12.2011, 09:27 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist doch auch der Fall: Hier ist , also . Denk dran, dass aus der Nullsymmetrie der Verteilung für die Dichte f.ü. folgt. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |