Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0?

12.12.2011, 23:55

Leser

Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0?

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich weiß nicht, wie ich das folgende formal zeigen kann:

Sei X eine stetige Zufallsvariable, die um Null symmetrisch ist. Dann ist ja $\begin{eqnarray*} E[X]=0 \end{eqnarray*}$ (klar soweit).
Ich möchte nun zeigen, dass dann ebenfalls $\begin{eqnarray*} E[X^3]=0 \end{eqnarray*}$ ist. Intuitiv ist mir das irgendwie klar, aber wie kann man das formell zeigen?
Vielen Dank für eure Hilfe

Meine Ideen:
Ich hab wirklich keine Idee und brauch das innerhalb eines Beweises für eine Übungsaufgabe.

13.12.2011, 10:23

Zündholz

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RE: Symmetrische Zufallsvariable X: Wie zeige ich E[X^3]=0?
Hallo,
Wie hast du denn gezeigt, dass E[X] = 0? Im prinzip geht das für E[X^3] analog.
Ich würde das folgendermaßen machen: Betrachte mithilfe einer Indikatorfunktion eine Art Fallunterscheidung (1) X > 0 (2) X < 0. Ziehe den Erwartungswert auseinander und setze ein was gegeben ist.
(Dieses Vorgehen ist analog zur Aufteilung des Integrationsbereichs).

Schöne Grüße

13.12.2011, 10:33

René Gruber

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Zitat:

Original von Leser
Sei X eine stetige Zufallsvariable, die um Null symmetrisch ist. Dann ist ja $\begin{eqnarray*} E[X]=0 \end{eqnarray*}$ (klar soweit).

Nicht notwendig: Bei der Cauchyverteilung stimmt das z.B. nicht: Da existiert der Erwartungswert gar nicht.

Die Aussage solllte also präzisiert werden: Wenn der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E[X] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E[X^3] \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert, dann ist er auch gleich Null.

13.12.2011, 16:01

Leser

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Danke schon mal für eure Hilfe, Zündholz und René.

@ René: Danke für die kleine Anmerkung
@ Zündholz: Ich habe $\begin{eqnarray*} E[X]=0 \end{eqnarray*}$ direkt aus der definition der Symmetrie hergeleitet. Das war nicht sonderlich schwer. Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} E[X^3]=0 \end{eqnarray*}$ herleiten soll, geht das, indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ symmetrisch verteilt ist. Aber genau das krieg ich nicht hin...

13.12.2011, 16:06

René Gruber

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Na dann werden wir mal konkret: Die Berechnungsformel bei stetigen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} E[g(X)] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

also für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} E[X^3] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Das kannst du nun in zwei Integrale $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ aufteilen und in dem einen davon $\begin{eqnarray*} x=-t \end{eqnarray*}$ substituieren...

13.12.2011, 16:56

Leser

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Vielen Dank, Réne.

ginge auch alternativer Ansatz?

Nach Veraussetzung ist X symmetrisch um Null, d.h.

$\begin{eqnarray*} P(X \leq -y) = P(X \geq y) \ \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Da die dritte Potenz anordnungserhaltend bezüglich $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist, ist dies äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} P(X^3\leq (-y)^3) = P(X^3 \geq y^3) \ \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} P(X^3\leq -y^3) = P(X^3 \geq y^3) \ \ \forall y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ symmetrisch verteilt. Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} E[X^3]=0 \end{eqnarray*}$ .

(Ich hab ganz am ende unterschlagen, dass der $\begin{eqnarray*} E[X^3] \end{eqnarray*}$ existiert.)

13.12.2011, 17:00

René Gruber

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Zitat:

Original von Leser
Somit ist $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ symmetrisch verteilt. Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} E[X^3]=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du diesen Teil schon nachgewiesen hast, dann ja.

13.12.2011, 19:05

Leser

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Dass bei einer symmetrischen Verteilung und einem existierenden Grenzwert folgt, dass dieser gleich null ist, das hab ich schon nachgewiesen.
Also müsste ich dann alles haben, ja? Darf ich denn annehmen, dass der erwartungswert für X^3 existiert? Auch dass erscheint mir irgendwie intuitiv offensichtlich, aber müsste ich das noch nachweisen?

13.12.2011, 19:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leser
Darf ich denn annehmen, dass der erwartungswert für X^3 existiert?

Das muss vorausgesetzt werden, etwa in der Form $\begin{eqnarray*} E|X|^3<\infty \end{eqnarray*}$ .

Es gibt durchaus nullsymmetrische Zufallsgrößen, wo Erwartungswert und Varianz existieren, das dritte Moment $\begin{eqnarray*} E[X^3] \end{eqnarray*}$ aber nicht - Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{2x^4} & \;\mbox{für}\, |x|\geq 1 \\ 0 & \;\mbox{für}\, |x|<1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry, kleiner Fehler bei der Konstante - korrigiert.

13.12.2011, 23:17

Leser

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@ René Gruber: Darf ich da einfach x=-t substutiuieren? Ich dachte ich dürfte das nur, wenn unter dem Integral ein Term der Form $\begin{eqnarray*} f(g(x))g'(x)dx \end{eqnarray*}$ steht, und dann könnte ich g(x) durch u substituieren.
Aber das ist doch hier nicht unbedingt gegeben, oder darf ich einfach relativ frei y durch -t ersetzen?

Ok, ich habs...wir lesen die Substitutionsformel quasi "rückwärts" und dann ist es eigentlich ganz leicht....vielen Dank für eure Hilfe!

14.12.2011, 09:27

René Gruber

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Zitat:

Original von Leser
@ René Gruber: Darf ich da einfach x=-t substutiuieren? Ich dachte ich dürfte das nur, wenn unter dem Integral ein Term der Form $\begin{eqnarray*} f(g(x))g'(x)dx \end{eqnarray*}$ steht, und dann könnte ich g(x) durch u substituieren.

Ist doch auch der Fall: Hier ist $\begin{eqnarray*} g(x)=-x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g'(x)=-1 \end{eqnarray*}$ . Denk dran, dass aus der Nullsymmetrie der Verteilung für die Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x)=f_X(-x) \end{eqnarray*}$ f.ü. folgt.

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