3D Volumenproblem

13.12.2011, 12:21

Skandel

3D Volumenproblem

Meine Frage:
Hallo,

wir haben folgendes Problem. Wie in den Ahnängen ersichtlich, haben wir einen 3D Raum mit einer Pyramide. Diese Pyramide besitzt den Punkt (0,0,0) und 3 weitere Punkte die auf den Achsen x,y,z liegen sollen. Der Flächeninhalt der Pyramide soll 18 Flächeneinheiten betragen und die Punkte sollen ganzzahlig sein, dass sind die Bedingungen. Nun ist die Aufgabe, dass wir die 3 Punkte ausrechnen. [attach]22315[/attach]

Meine Ideen:
Unsere Idee ist es,
dass wir die vier Flächen darstellen, wie im Bild Ansatz zu sehen ist.

[attach]22316[/attach]

Wir haben auch schon versucht das mit Mathematica von Wolfram Research zu lösen, aber nicht vernünftig. Unser Professer legte uns nahe, ein numerisches Optimierungsverfahren zu nutzen. Bloß welches, und wie?

Ich hoffe, hier Hilfe zu finden, vielen Dank.

[attach]22317[/attach]

13.12.2011, 14:01

René Gruber

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Zitat:

Original von Skandel
und die Punkte sollen ganzzahlig sein

Das wird NICHT gefordert - lies nochmal genau nach. unglücklich

Außerdem ist etwas in deinen Rechnungen zu korrigieren: Der Flächeninhalt des vierten Dreiecks ist

$\begin{eqnarray*} F_4 = \frac{1}{2} \left| (x,-y,0) \times (x,0,-z) \right| = \frac{1}{2} \sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2} \end{eqnarray*}$ .

Kleiner Tipp: Versuche mal, ein positiv ganzzahliges Tripel $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ so zu finden, so dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( xy+yz+zx + \sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2} \right) \end{eqnarray*}$

ein ganzzahliger Wert ist, der ein Teiler des geforderten Wertes 18 ist...

P.S.: Der Threadtitel ist verfehlt - es geht nicht um Volumina, sondern um Flächeninhalte.

13.12.2011, 15:14

Leopold

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Man könnte noch die Größen $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} xy = 2A \, , \ yz = 2B \, , \ zx = 2C \end{eqnarray*}$

einführen. (Das Gleichungssystem läßt sich eindeutig nach $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ auflösen. Kennt man also $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ , so kennt man auch $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ .)
Die $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ sind nach Aufgabenstellung positive ganze Zahlen. Die Flächenbedingung kann nun alleine durch $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ ausgedrückt werden.

13.12.2011, 15:27

René Gruber

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Betrachtet man nun (zunächst) o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} A\leq B\leq C \end{eqnarray*}$ , dann hat die zu lösenden Gleichung

$\begin{eqnarray*} A+B+C+D = 18 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} D=\sqrt{A^2+B^2+C^2} \end{eqnarray*}$ eine sehr übersichtliche Anzahl von ganzzahligen Tupeln $\begin{eqnarray*} (A,B,C,D) \end{eqnarray*}$ , die durchzutesten sind, zumindest wenn man vorher weitere, sich aus den obigen Bedingungen ergebende einschränkende Vorüberlegungen zu diesen $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ anstellt.

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