kurvendisskusion krümmung - monotonie

13.12.2011, 12:51

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

kurvendisskusion krümmung - monotonie

Hi,

ich hab 2 fragen zur kurvendisskusion und zwar zur krümmun,monotonie und wendepunkte
der angagebenen funktion:

angabe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

also zuerst zu den fendepunkten in der ich die zweite ableitung 0 setzte. hier bekomme
ich aber mit meinem taschenrechner nur ein "false". heisst das das es keine wendepunkte
gibt oder diese nicht bestimmte werden können?

monotonie:

hab ich das richtig verstanden dass ich mir hier die ableitung der funktion anschauen muss,
also wo gilt f(x)' > 0 und F(x)` < 0. muss ich mir hier die ableitung also genau anschauen und eine fallunterscheidung machen?

krümmung:

bei der krümmung muss ich ja die 2te ableitung anschauen also:
f(x)'' > 0 und F(x)'' < 0.

nur welche werte setze ich hier für x ein. oder muss ich mir hier wieder für jeden fall
die zweite ableitung anschauen. das wird dann aber ziemlich kompliziert ohne taschenrechner.

lg

13.12.2011, 13:07

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn f''(x) aus? Also die Funktionsgleichung?

13.12.2011, 14:15

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{-0,2(x+2)^\frac{2}{3}}{(x-1)^\frac{5}{3}} + \frac{0,2x}{(x-1)^\frac{2}{3} (x+2)^\frac{4}{3}} + \frac{1,1}{(x-1)^\frac{2}{3} (x+2)^\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

13.12.2011, 14:20

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot \frac{2}{3}\cdot (x+2)^{\frac{-1}{3} }+ (x-1)^{\frac{-2}{3} } \cdot \frac{1}{3} \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }=\frac{2\cdot (x-1)^{\frac{1}{3} } }{3\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } } +\frac{(x+2)^{\frac{2}{3} }}{3\cdot (x-1)^{\frac{2}{3} }} = \frac{x}{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }-x\cdot (\frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }}{3\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }}+\frac{2\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }}{3\cdot (x-1)^{\frac{1}{3} }} )}{((x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} })^{2} } = \frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }-\frac{x(x+1)}{(x-1)^{\frac{1}{3}}\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } } }{((x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} })^{2} }=\frac{\frac{-2}{(x-1)^{\frac{1}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }} }{(x-1)^{\frac{4}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }} =\frac{-2}{(x-1)^{\frac{5}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{4}{3} }} \end{eqnarray*}$

13.12.2011, 14:43

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt schaut das ein bischen einfacher aus. nur wie komm ich ohne taschenrechner auf:

f(x)'' > 0 und F(x)'' < 0.

für z.b dir krümmung?

13.12.2011, 14:47

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von b0b0_c
$\begin{eqnarray*} f(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot \frac{2}{3}\cdot (x+2)^{\frac{-1}{3} }+ (x-1)^{\frac{-2}{3} } \cdot \frac{1}{3} \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

so sieht die erste Ableitung ja noch gut aus..

aber überprüfe vielleicht nochmal, was du damit dann weiter gemacht hast verwirrt

verwirrt

@dark123 :
Tipp:
Prost

Prost

Vertauen ist gut, Kontrolle ist besser..
also rechne doch selbst mal nach

siehe auch: Hochschulmathematik
grenzwert von wurzelfunktion

Anzeige

13.12.2011, 15:00

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm hab eigentlich nachgerechnet und bin aufs gleiche ergebnis gekommen. na dann nochmal. aber mein eigentliches problem ist eigentlich noch immer wie ich die krümmung berechnen kann.

13.12.2011, 15:01

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= (x-1)^{\frac{1}{3} } \cdot \frac{2}{3}\cdot (x+2)^{\frac{-1}{3} }+ (x-1)^{\frac{-2}{3} } \cdot \frac{1}{3} \cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }=\frac{2\cdot (x-1)^{\frac{1}{3} } }{3\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} } } +\frac{(x+2)^{\frac{2}{3} }}{3\cdot (x-1)^{\frac{2}{3} }} = \frac{x}{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }-x\cdot (\frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }}{3\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }}+\frac{2\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }}{3\cdot (x-1)^{\frac{1}{3} }} )}{((x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} })^{2} } = \frac{(x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} }-\frac{x(x+1)}{(x-1)^{\frac{1}{3}}\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} } } }{((x-1)^{\frac{2}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{1}{3} })^{2} }=\frac{\frac{-2}{(x-1)^{\frac{1}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }} }{(x-1)^{\frac{4}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{2}{3} }} =\frac{-2}{(x-1)^{\frac{5}{3} }\cdot (x+2)^{\frac{4}{3} }} \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja nicht, ob man bei so ner langen Formel wegen einem Tippfehler mukieren sollte...?

Die Ergebnisse stimmen auf jeden Fall!

13.12.2011, 15:06

gb

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Ableitung zeigt zwar (nach oberflächlicher Betrachtung), dass es keine Wendepunkte gibt.
Tatsächlich ist im Graph ein Wendepunkt an der Stelle 1 erkennbar.
Dieser Wendepunkt ist aber über y'' nicht ermittelbar, weil y'' an dieser Stelle nicht existiert.

13.12.2011, 15:08

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja der Graf einer Funktion kann entweder rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt sein. Das hat mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung zu tun. Wenn f''(x) positiv ist, dann ist der Graf linksgekrümmt, anderenfalls rechtsgekrümmt.

13.12.2011, 15:09

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

@ gb
ok aber ich hab ja keinen graphen. und so gut bin ich auch nicht dass ich mir aus der angabe einen zeichnen könnte :-) (wie gesagt ohne taschenrechner). gibt es eine möglichkeit das auch ohne graph zu erkennen?

13.12.2011, 15:12

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

@ b0b0_c

das is klar. aber ich soll ja alle punkte in denen sich die krümmung ändert angeben.

13.12.2011, 15:13

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gb
Die zweite Ableitung zeigt zwar (nach oberflächlicher Betrachtung), dass es keine Wendepunkte gibt.
Tatsächlich ist im Graph ein Wendepunkt an der Stelle 1 erkennbar.
Dieser Wendepunkt ist aber über y'' nicht ermittelbar, weil y'' an dieser Stelle nicht existiert.

Verrat doch nicht gleich alles unglücklich

unglücklich

An f''(x) erkennst du, dass die kritischen Stellen wohl x= -2 und x=1 sind. Dann ermittelst du das Krümmungsverhalten rechts und links der beiden kritischen Stellen. Wo sich das Krümmungsverhalten ändert muss dann wohl ein Wendepunkt vorliegen

13.12.2011, 15:23

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

ok da die funktion für f(-2)'' und f(1)'' nicht definiert sind weiss ich dass hier eine kritische stelle vorliegt.

nur eine frage noch dazu. wie finde ich diese stellen. wen ich f(x)'' = 0 setze bekomme ich
nur ein false.

13.12.2011, 15:29

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

Du findest sie durch intensives Betrachten von f''(x).
Tipp: Das sind die Nullstellen des Nenners. Dass f''(x) nicht null werden kann kommt daher, dass ein Bruch nur dann Null wird, wenn der Zähler Null ist. Und das kann nicht eintreffen.

[attach]22320[/attach]

13.12.2011, 15:31

dark123

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok ich verstehe. ja wie gesagt ich muss das ganze ohne rechner machen, hab also auch keinen graphen den ich mir anschauen kann. aber das mit dem nenner ist klar.

vielen dank auch smile

smile

13.12.2011, 15:37

b0b0_c

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »