Basisdarstellung

13.12.2011, 14:03

prechti1992

Basisdarstellung

Meine Frage:
Hier einmal die Aufgabenstellung:

Wir betrachten die trigonometrischen Funktionen sin: |R -> |R und
cos: |R -> |R ,sowie den davon erzeugten Untervektorraum:
V = Lin{sin,cos} c |R^|R

Ferner sei f: V -> V, $\begin{eqnarray*} \alpha -> \alpha' \end{eqnarray*}$ die Abbildung, welche einer Fuktion $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ihr Ableitung $\begin{eqnarray*} \alpha' \end{eqnarray*}$ zuordnet.

a) Zeigen sie, das B = (sin,cos) eine Basis von V ist
b) Bestimmen sie die darfstellende Matrix
c) Geben sie den Kern(f) und Bild(f) an. Ist j injektiv (surjektiv) ?

Meine Ideen:
Also, ich kann nur ungefähr sagen was ich gedenken zu tun^^

a) Ich müsste halt zeigen, das B = (sin,cos) das kleinstmöglich Erzeugendensystem ist... Muss ichs in ne Matrix schreiben und dann zeigen das sich keine Zeile kürzt???

b) Weiß ich leider nicht so genau wie ich da vorgehen soll... hab was im skript stehen werde aber nich ganz schlau daraus.

c) Ich krieg ja ne darstellende Matrix raus, und die muss ich dann untersuchen auf Rang und so oder??

Danke für die Hilfe

13.12.2011, 14:07

Cel

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Zu a): Was ist denn mit einer Basis? Welche Eigenschaft muss das System haben? V ist die lineare Hülle von zwei Vektoren. Welche Dimension muss V haben, damit die Vektoren eine Basis bilden?

Zu b): Schau mal hier rein: [Artikel] Abbildungsmatrizen Besonders Aufgabe 3.2. Nimm als Basis des Zielraumes ebenfalls wieder sin(x), cos(x). Ist ja derselbe.

Zu c). Genau, Rang und so. Machen wir später.

13.12.2011, 14:21

prechti1992

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antwort
Also, zu a)

eine Basis darf nur vektoren enthalten, die linear unabhängig sind. aber das ist doch klar, das ich aus dem cos keinen sinuns machen kann mittels elementarumformungen...

zu b)
glaub ich hab ich jetzt, hier mal mein rechnenweg:

also, ich brauch ja erst mal

f(sin) = cos
f(cos) = -sin

(hab halt die basisvektoren sin, cos in die abbildung eingesetzt und geschaut was rauskommt.
Wenn ich des jetz wieder bezüglich der Basis B schreib, kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} f_{B}(sin) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{B}(cos) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder?? Was dann quasi die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

13.12.2011, 14:26

Cel

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RE: antwort

Zitat:

Original von prechti1992
Also, zu a)

eine Basis darf nur vektoren enthalten, die linear unabhängig sind. aber das ist doch klar, das ich aus dem cos keinen sinuns machen kann mittels elementarumformungen...

Ja, schreibs aber mal sauber hin. Linearkombi der Basisvektoren ergibt Null. Dann folgt was?

Zitat:

Original von prechti1992
zu b)
glaub ich hab ich jetzt, hier mal mein rechnenweg:

also, ich brauch ja erst mal

f(sin) = cos
f(cos) = -sin

[...]

$\begin{eqnarray*} f_{B}(sin) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{B}(cos) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von prechti1992
Was dann quasi die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Falsch. Nutze erstens runde Klammer (pmatrix) und du musst die Koordinatenvektoren spaltenweise aufschreiben.

13.12.2011, 14:33

prechti1992

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antwort
Also,

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}sin * \lambda_{2}cos = 0 \end{eqnarray*}$

dass kann ja nur sein, wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ null sind

und was auch noch mein problem ist: was is eine Lineare Hülle?? Ich verstehs nicht ganz

13.12.2011, 15:09

prechti1992

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RE: antwort
Also gut des hab ich jetzt verstanden =)

und dann was soll ich bei der c) machen??

GUt, ich seh ja, das der Rang(f) = Rang (Matrix) = 2 ist.

Folgt dann daraus, das das Bild(f) eine 2-dim UVR von |R^|R ist? Und wenn ja was ist dann davon eine Basis??
Auserdem kann f ja dann nicht surjektiv sein, weil ja der Bildraum nicht gleich dem Gesamten definitionsraum ist...

13.12.2011, 22:22

Cel

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Genau, das Bild ist 2-dimensional. Was ist mit dem Kern? Welche Dimension hat er, denk an den Rangsatz. Augenzwinkern

15.12.2011, 12:16

Prechti1992

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Antwort
Tut mir leid das ich solange gebraucht habe, mein internet '-.-

also

Rang(Matrix) = dim(Bild(f)) + dim(Kern(f))

Das Rang(Matrix) = 2 = dim(Bild(f))

=> dim(Kern(f)) = 0 => Injektiv, da ja eine Abbildung injektiv ist <=> Kern(f) = 0

FOlglich ist die Basis des Kern(f) nur der Nullvektor

Ist nun die Basis von Bild(f) einfach {sin,cos} ??

Folgt dann daraus, das die Basis(Bild(f)) = B ist, das die Abbildung surjektiv ist?

15.12.2011, 13:05

Cel

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Injektiv,

Surjektiv? Eine Basis des Bildes ist gegeben durch die lin. unabh. Spalten der Abbildungsmatrix. Und die sind ja lin. unabh. Sind aber hier die Koordinatenvektoren, was ist also eine Basis? Deine ist auch richtig, aber was sagt uns die Abbildungsmatrix?

16.12.2011, 12:20

Prechti1992

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...
Ja die Abbildungsmatrix würde sagen:

B(Bild(f)) = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

16.12.2011, 12:39

Cel

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Das soll eine Basis des Bildes sein? Kann nicht sein, immerhin ist doch $\begin{eqnarray*} V \subset \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ und nicht (!) $\begin{eqnarray*} V \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Guck noch mal in meinen Artikel, das ist die Koordinatendarstellung einer Basis des Bildes.

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