Untersuchung auf Differenzierbarkeit und Bilden der Ableitung

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13.12.2011, 14:29	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung auf Differenzierbarkeit und Bilden der Ableitung Meine Frage: Es seien die reellwertigen Funktionen $\begin{eqnarray} f_1,\; f_2,\; f_3 \end{eqnarray}$ auf der Halbgeraden $\begin{eqnarray} (0,\infty ) \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f_1(x):=e^{-\frac{1}{\sqrt x}},\qquad f_2(x):=x^x,\qquad f_3(x):=x^{sin^2 x} \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie die Existenz der Ableitungen $\begin{eqnarray} f_1^{'},f_2^{'},f_3^{'} \end{eqnarray}$ und berechnen Sie diese gegebenenfalls. Meine Ideen: Ich hab da schon Ergebnisse, bin mir nur nicht sicher ob das stimmt. Also wenn möglich bitte Korrektur oder Bestätigung $\begin{eqnarray} f_1^{'}=\frac{1}{2 \sqrt{x^3}} e^{-\frac{1}{\sqrt x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2^{'}=(x-1)x^{x-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3^{'}=(sin^2 x -1)x^{sin^2 x-1} \end{eqnarray}$ Nun ist ja auch noch nach der Existenz der Ableitungen gefragt. Kann ich das so machen: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn: $\begin{eqnarray} f(\xi +h)-f(\xi )=ah+r(h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} \frac{r(h)}{h}=0 \end{eqnarray}$ Ausserdem verstehe ich nicht ganz was mit "auf der Halbgeraden $\begin{eqnarray} (0,\infty ) \end{eqnarray}$ " gemeint ist. Kann ich das dann so einfach machen? schonmal danke im vorraus!
13.12.2011, 15:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zweite und dritte Funktion hast du falsch differenziert. Der Exponent ist hier nicht konstant, also handelt es sich nicht um Potenzfunktionen. Daher kannst du auch die Ableitungsregel für Potenzfunktionen nicht anwenden.
13.12.2011, 15:31	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann weiß ich da schonmal bescheid. da werde ich bestimmt noch was finden. aber wie sieht es denn mir der untersuchung auf differenzierbarkeit aus? kann ich das so machen?
14.12.2011, 08:47	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
hab die b jetzt so: $\begin{eqnarray} f_2(x)=x^x=e^{\log (x^x)}=e^{x \log x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2^{'}(x)=(x\cdot \frac 1 x + 1\cdot \log (x))\cdot e^{x \log x} =(1+\log (x))\cdot e^{x\log x}=e^{x\log x}+\log (x) e^{x\log x}=x^x+\log (x) x^x \end{eqnarray}$ stimmt das?
14.12.2011, 09:23	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
bei der c) hab ich: $\begin{eqnarray} f_3(x)=x^{\sin^2 x}=e^{\log (x^{\sin^2 x})}=e^{\sin^2 x\log x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3^{'}(x)=\left( \sin^2 x\cdot \frac 1 x + 2\cdot \sin x\cos x\log x\right)x^{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x\cdot x^{\sin^2 x}}{x}+2\cdot\sin x\cos x\log x \cdot x^{\sin^2 x} \end{eqnarray}$ stimmt das? wenn ja dann würde ich nur noch gerne wissen ob meine o.g. formel stimmt, um die existenz zu zeigen. danke!
15.12.2011, 09:54	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
müsste doch so gehen? das intervall ist eingehalten und da ich eine ableitung bilden konnte, muss sie ja auch existieren? habe ich in der annahme recht?
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15.12.2011, 10:49	333	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, könntest du mir bitte zeigen wie du die erste Ableitung gemacht hast? ich komm da nicht so ganz klar habs mehrer male versucht, komm aber nicht auf das was du hast, und da hier alle sagen das das richtig ist, bin ich langsam verzweifelt
15.12.2011, 11:02	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du f1 meinst, geht das so: $\begin{eqnarray} f_1(x):=e^{-\frac{1}{\sqrt x}}=e^{-x^{-\frac 1 2}} \end{eqnarray}$ jetzt kann man mit der kettenregel (innere mal äußere ableitung, sollte bekannt sein) ableiten. $\begin{eqnarray} f_1^{'}(x)=\frac 1 2 x^{-\frac 3 2} e^{-\frac{1}{\sqrt x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x^3}}e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray}$ zur erinnerung: sei $\begin{eqnarray} g(x)=e^x \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} g^{'}(x)=e^x \end{eqnarray}$ falls das für verwirrung gesorgt hat.
15.12.2011, 11:06	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
reicht das nicht wenn man bei der b nach dem schritt: $\begin{eqnarray} (1+ log(x))+ e^{x\cdot log (x)} \end{eqnarray}$ einfach nur noch schreibt: $\begin{eqnarray} x^{x} \cdot (log(x)+ 1) \end{eqnarray}$ oder muss man das wirklich ausmultiplizieren?
15.12.2011, 11:11	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry nach dem schritt meinte ich: $\begin{eqnarray} (1+ log(x))\cdot e^{x\cdot log (x)} \end{eqnarray}$
15.12.2011, 11:11	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist dir überlassen

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