Lineare Abbildung ?

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13.12.2011, 15:52	Maxxter	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung ? Meine Frage: Hi Leute, ich zerbreche mir gerade den Kopf über folgende Aufgabe, weiß allerdings keinen Ansatz. Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. Ich habe folgende Dinge gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> D: P_{n} \Rightarrow P_{n}<br /> D(P_{n}) = P'_{n}<br /> n\in \mathbb N_{0} <br /> mit:<br /> P_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}<br /> P'_{n} = \sum_{k=0}^{n} ka_{k}x^{k}<br /> \end{eqnarray}$ Ich soll überprüfen, ob D eine lineare Abbildung ist. Außerdem soll ich Injektivität, Surjektivität und Bijektivität überprüfen. Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen. Gruß, Maxx Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} <br /> f(x+y) = f(x) + f(y) ?<br /> \end{eqnarray}$
13.12.2011, 16:09	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute du hast dich vertippt. Muss das nicht $\begin{eqnarray} P'_n := \sum_{k=1}^n k\cdot a_k\cdot x^k \end{eqnarray}$ heißen? Außerdem. Was ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Was du zeigen musst, ist folgendes: $\begin{eqnarray} D(f+g) = D(f) + D(g) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f,g\in K[X] \end{eqnarray}$ Ibn Batuta
13.12.2011, 16:11	Maxxter	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ja. Ich editiere das mal sofort! Danke für den Hinweis. also es soll heißen: $\begin{eqnarray} <br /> P'_{n}:= \sum\limits_{k=1}^n k a_{k} x^{k-1}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ soll eigentlich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ sein, hab das nur so als Formel darstellen wollen.
13.12.2011, 16:20	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä? Wie als Formel? Wähl dir $\begin{eqnarray} f := \sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g := \sum_{k=0}^n b_k X^k\in K[X] \end{eqnarray}$ aus und wende deine Abbildung $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ an. Zeige, dass gilt $\begin{eqnarray} D(f+g) = D(f) + D(g) \end{eqnarray}$ . Danach wählst du dir ein $\begin{eqnarray} \lambda\in K \end{eqnarray}$ und zeigst $\begin{eqnarray} D(\lambda f) = \lambda D(f) \end{eqnarray}$ . Erst dann würde ich mich an die Injektivität und Surjektivität wagen. Ibn Batuta
13.12.2011, 16:25	Maxxter	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss das mit der Formel. Ok mein D sagt mir, dass $\begin{eqnarray} P_{n} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} P_{n} \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Wie genau soll ich mit $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zeigen, dass das gilt, was du geschrieben hast? Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch...
13.12.2011, 16:28	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ bildet ein $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} P'_n \end{eqnarray}$ ab. Was hindert dich denn daran meinen obigen Hinweis zu befolgen? $\begin{eqnarray} D(f+g) = D\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k + \sum_{k=0}^n b_k X^k \right) = .... \end{eqnarray}$ Das ist nun einfaches rechnen. Ibn Batuta
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13.12.2011, 16:31	Maxxter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, es hat gerade klick gemacht. ;-) Ich melde mich nochmal, wenn ich was hab. Danke! Das rechnen mit Summenzeichen ist mir allerdings nicht so vertraut. Kann ich das einfach in $\begin{eqnarray} <br /> D(\sum\limits_{k=0}^n a_{k}x^{k})+D(\sum\limits_{k=0}^n b_{k}x^{k})<br /> \end{eqnarray}$ umformen? Dann wäre ich ja schon fertig... Beweise sind mir zu abstrakt.
14.12.2011, 15:02	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kannst du nicht. Das mußt du doch zeigen! Wie kannst du diesen Schritt vereinfachen? $\begin{eqnarray} D\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k + \sum_{k=0}^n b_k X^k \right) = ...<br /> \end{eqnarray}$ Ibn Batuta
27.12.2011, 16:01	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mal so frei und mache die Aufgabe bis auf die Injektivität zu Ende. Bin mir sicher, dass der Threadersteller das Übungsblatt schon abgeben musste. $\begin{eqnarray} D\left( \sum_{k=0}^n a_k X^k + \sum_{k=0}^n b_k X^k \right) = D\left( \sum_{k=0}^n (a_k+b_k) X^k \right) = \sum_{k=1}^n k (a_k+b_k) X^{k-1} = \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} + \sum_{k=1}^n k b_k \cdot X^{k-1} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D \left( \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) + D \left( \sum_{k=0}^n b_k X^k \right)<br /> \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \lambda\in K \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} D\left( \lambda \sum_{k=0}^n a_k X^k \right) = D\left( \sum_{k=0}^n \lambda a_k X^k \right) = \sum_{k=1}^n \lambda k a_k X^{k-1} = \lambda\cdot \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} \end{eqnarray}$ Zur Surjektivität: Sei $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n} a_k X^{k} \end{eqnarray}$ beliebig, dann $\begin{eqnarray} \exists \sum_{k=0}^{n} a_k\frac 1 {k+1} X^{k+1} : D\left(\sum_{k=0}^{n} a_k\frac 1 {k+1} X^{k+1}\right)=\sum_{k=0}^{n} a_k X^{k} \end{eqnarray}$ Ibn Batuta

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