Abstände von Geraden und Ebenen

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13.12.2011, 16:47	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstände von Geraden und Ebenen Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin mittlerweile ziemlich gefrustet, weil ich mich tagelang durch Netz googele und durchprobiere, aber immer noch nicht verstehe, warum die Formel aus der Formelsammlung nicht funktionieren. Konkret geht es um folgende Aufgabentypen: Abstand Gerade-Punkt Abstand Ebene-Punkt Abstand Gerade-Gerade Nehmen als Beispielwerte: Punkt P (2/0/2), die Gerade x: (2/4/2)+s(1/2/0) und die Ebene 2x+y+4z=4 Nun möchte ich versuchen, die Abstände mit der Formel aus der Formelsammlung: \|(Ortsvektor des Punktes-Ortsvektor eines festen Punktes auf der Gerade bzw. Ebene)Normaleinheitsvektor der Gerade/Ebene\| berechnen, allerdings komme ich einfach nicht auf das richtige Ergebnis. Meine Ideen:* Ab da komme ich einfach nicht weiter. Kann ich mit dieser Formel den Abstand berechnen, oder benutzte ich lieber ein anderes Verfahren? Wenn es funktioniert, dann bitte ich um eine Beispielrechnung, ich schreibe am Donnerstag Klausur. Lg Cuby
13.12.2011, 17:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann zeige uns doch mal deine Rechnung! Übrigens sind in R3 (!) die Formeln für den Normalabstand eines Punktes von einer Ebene von jener für den Normalabstand eines Punktes von einer Geraden verschieden! mY+
13.12.2011, 18:00	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verstehe ich nicht, warum in meiner Formelsammlung die Formel explizit für Abstand Punkt R und Gerade bzw. Ebene angegebene ist
13.12.2011, 19:09	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun bin ich auf folgende Formel gestoßen, welche allerdings ebenfalls nicht das vorgegebene Ergebnis bringt: $\begin{eqnarray} \frac{\left( \vec{p}- \vec{a} \right)X\vec{u}}{\|\vec{u}\|} \end{eqnarray}$ Bei den vorgegebenen Werten setze ich also ein: $\begin{eqnarray} \frac{\|\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right)X\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \| }{\|\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \| } \end{eqnarray}$ Da das Schreiben der Formel etwas langwierig ist, verkürze ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{\|\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \| }{\| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \| } \end{eqnarray}$ Ergibt: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5} } \end{eqnarray}$ Ist bei mir etwa 1.xx die vorgegebene Lösung ist allerdings 3,25.. wo liegt mein Fehler
13.12.2011, 19:45	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} d=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\approx 1.79 \end{eqnarray}$ ist korrekt überprüfe eventuell deine angaben
13.12.2011, 20:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Unterschiede Die Abstandsformel Punkt - Ebene in R3 ist identisch mit der Abstandsformel Punkt - Gerade in R2 (!). In beiden wird das skalare Produkt von Vektoren verwendet. Die Formel Abstand Punkt - Gerade in R3 beinhaltet hingegen das vektorielle Produkt, wie du es zuletzt gerechnet hast. mY+
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13.12.2011, 21:35	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den Rechenweg unserer Lehrers vorliegen, er geht wie folgt vor: Hilfsebene H senkrecht zu g durch Punkt A aufstellen: $\begin{eqnarray} \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt Koordinatenform: x+2y=2 Gerade G wird komponentenweise eingesetzt: (2+q)+2(4+2q)=2 ergibt: 5q=-8 q=-8/5 einsetzen in G: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}- \frac{8}{5}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{12}{5} \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Verbindungsvektor von A und S: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{12}{5} \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{-8}{-5} \\ \frac{12}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \vec{AS} \| = \sqrt{\frac{64}{25}+\frac{144}{25} } \end{eqnarray*}$ Ist da ein Fehler drin, den ich nicht sehe, oder warum kommt da ein anderer Wert raus?
13.12.2011, 21:56	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja da hast due ienen fehler $\begin{eqnarray} 4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\to d=\frac{1}{5}\sqrt{64+16}\to d\approx 1.79 \end{eqnarray}$
13.12.2011, 22:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sicher ist da ein Fehler drin! Und zwar stimmt der Schnittpunkt S nicht. Richtig sind seine Koordinaten S(2/5 ; 4/5; 2). Überdies ist die x-Komponente von AS auch nicht (-8)/(-5), das ist ein zweiter Fehler, der sich infolge des Quadrierens aber nicht weiter auswirkt. mY+
13.12.2011, 22:12	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, danke, dann liegt der Fehler bei meinem Lehrer und ich bin umsonst verzweifelt... Für den Abstand von Punkt zu Grade nehme ich also die Formel oben und für den Abstand Grade Punkt eben setzte ich den Punkt in die Gleichung d=(ax+by+cz-d)/\|n\| ein?
13.12.2011, 22:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du damit den Abstand Punkt - Ebene (R3) meinst! mY+
14.12.2011, 15:15	Cuby93	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine ich, danke für die Korrektur

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