Exponentialfunktion als Grenzwert einer Folge - Monotonie

13.12.2011, 17:18	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion als Grenzwert einer Folge - Monotonie Mal so rein interessehalber, hat jemand einen schönen Beweis parat, wieso $\begin{eqnarray} a_n = (1+ \frac{z}{n})^n \end{eqnarray}$ monoton wachsend für z>0 ist? Spontan würde mir nur der klassische Ansatz mit (a_(n+1)/a_(n))>1 einfallen - wobei der zum Umformen / Abschätzen sicherlich ziemlich unangenehm sein dürfte. Eventuell ginge da was mit Bernoulli... Hätte eventuell jemand entweder einen schönen Beweis(ansatz) oder Tipps zum Umformen des klassischen Ansatzes?
13.12.2011, 18:34	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Aktualisierung: Ich habe jetzt einen Beweis für die Monotonie, mit dem ich halbwegs zufrieden bin (auch, wenn's noch immer an die 10 Umformungen und Bernoulli erfordert... Einfachere bzw. besser noch kürzere Lösungswege sind immer willkommen). Jetzt stehe ich aber vor einem Problem, bei dem ich wirklich Hilfe brauche: Wieso ist $\begin{eqnarray} b_n = ( 1 + \frac{z}{n})^{n+1} \end{eqnarray}$ für 0 < z <=2 monoton fallend und strebt dann auch noch gegen denselben Grenzwert wie $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ von oben?
13.12.2011, 19:23	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der monoton steigenden Folge alternativ: Zeige $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}\left(\frac{z}{n}\right)^k\leq \binom{n+1}{k}\left(\frac{z}{n+1}\right)^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq k\leq n \end{eqnarray}$ mit der Bernoulli-Ungleichung und wende den binomischen Satz an. Zu der monoton fallenden Folge fällt mir spontan auch nichts tolles ein. Dass sie konvergent sein muss und den gleichen Grenzwert hat, liegt daran dass sie sich von der ursprünglichen Folge nur durch einen unwichtigen Faktor unterscheidet.

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