Konvergiert mit Wahrscheinlichkeit

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13.12.2011, 17:54	Stochastik-Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergiert mit Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Geg.: Folge (Xn), mit n aus natürlichen Zahlen, unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert u und endlicher Varianz e² und F:R->R (reelle Zahlen) eine Abbildung, die stetig in u ist. Zz.: f( 1/n $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n Xk \end{eqnarray}$ ) konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen f(u) Meine Ideen: muss ich da was mit dem zentralen Grenzwertsatz zeigen oder muss ich probieren die Xi in der Summe anders auszudrücken?
13.12.2011, 22:03	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergiert mit Wahrscheinlichkeit Hallo, Hast du schonmal was vom (schwachen) Gesetz der großen Zahlen gehört? Das kannst du hier anwenden. Mit der stetigkeit von f folgt dann die Behauptung. Formal müsste man vermutlich noch ein paar epsilons hin und herschieben... Schöne Grüße
13.12.2011, 23:06	Stochastik-Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, habs jetzt in unserem skript auch nicht gefunden, wurde nur erwähnt, dass soetwas existiert...
14.12.2011, 11:22	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hast du dann mal was von der Tschebytscheff Ungleichung gehört? Mit der kann man das schwache Gesetz nämlich zeigen: http://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_....C3.9Fen_Zahlen Also im Prinzip sagt es aus, dass das arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert (in Wahrscheinlichkeit) konvergiert. Was du für deine Aufgabe auf jeden Fall brauchst.
14.12.2011, 12:24	Stochastik-Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, also nochmal mit dem schwachen gesetzt der großen zahlen, wir haben das jetzt wie folgt definiert: Seien (Xn) Zve auf (omega, p) wobei omega diskret ist. Xn konvergiert Stochastisch gegen X <=> Für alle e>0 P( Xn - X < e) -> 0 (n-> unendlich) und ein Satz dazu: Seien Xn stochastisch unabhängige, reelle Zve mit gleichem Erwartungswert u und gleichem zentralem Moment E X²n=a² < unendlich, dann gilt 1/n summe (Xi) --> u bin aber nicht in der lage eins davon auf die funktion anzuwenden...
15.12.2011, 10:30	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du weißt, dass $\begin{eqnarray} S_n := \sum_{k=1}^n X_k \rightarrow \mu \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit und willst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0: \ \lim_{n \rightarrow \infty} P(\|f(S_n) - f(\mu)\| > \epsilon) = 0 \end{eqnarray}$ . Nachdem man die stochastische Konvergenz des arithmetischen Mittels etwas umgeschrieben hat (evtl nach Übergang zu einer Teilfolge) man: (1) $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N}: \ P(\|S_n - \mu\| < \epsilon) \ge 1 - \frac{1}{n}\quad \forall n\ge N(\epsilon). \end{eqnarray}$ Nun Betrachtet man die Stetigkeit: (2) Ist $\begin{eqnarray} x_n \rightarrow x \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \forall \hat{\epsilon} >0 \exists \hat{N}(\epsilon) \in \mathbb{N}: \ \|f(x_n) - f(x)\| < \hat{\epsilon} \quad \forall n\ge \hat{N}(\epsilon)\ \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur noch (1) und (2) in Verbindung bringen (wähle dazu $\begin{eqnarray} \epsilon,N \end{eqnarray}$ geeignet). Hilft dir das weiter? Schöne Grüße
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15.12.2011, 15:04	Stochastik-Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ich auf Gleichung (1) komme, habe ich mittlerweile verstanden, aber ich versteh noch nciht ganz, wie man (1) und (2) zusammenfassen kann, also wie man e wählen sollte und was danach zu tuen ist...deine idee ist odch, dass man N so wählen muss, dass die gleichung (2) kleiner ist als gleichung (1), damit die konvergenz also gilt...
15.12.2011, 15:10	Stochastik-Fuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, also ich glaube ich habs... gleichung (1) ist ja das gegenteil von der konvergenz mit wahrscheinlichkeit (also das folgt aus der negation vom schwachen gesetz der großen zahlen) gleichung(2) beschreibt die stetigkeit jetzt kann man sich ja das N(e) aus gleichung (1) größer wählen, als das N(e) aus Gleichung (2) und damit folgt, dass P( I f(Sn) - f(u) I <e) >.... und das kann man umgekehrt zum ersten schritt machen, also man dreht das gesetz wieder um und hat die behauptung! Danke!
16.12.2011, 20:39	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig! :tumb: Es kommt nur darauf an wie groß du was machst.

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