Durchschnitt / Vereinigung offener Mengen

13.12.2011, 18:00	qwert zuiopü	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt / Vereinigung offener Mengen Meine Frage: Hallo! Hier meine Frage: Seien zwei Mengen $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_{2} \end{eqnarray}$ offen, dann ist auch $\begin{eqnarray} M_{1}\cap M_{2} \end{eqnarray}$ offen. Das sollen wir zeigen. Meine Ideen: Also, unsere Definition von offenen Mengen A ist $\begin{eqnarray} \forall x \in A ; \exists r > 0, so dass B_{r}\left(x\right) \end{eqnarray}$ . Ich würde jetzt sagen, dass dieser Kreis eben auch für die x exitiert, die in der Schnittmenge liegen, denn vorab hatten sie ja auch einen und es sind ja keine neuen x dazugekommen. Das zu beweisen ist kein Problem. Meine Befürchtung ist aber, dass der Kreis um die $\begin{eqnarray} x \in M_{1}\cap M_{2} \end{eqnarray}$ irgendwie weggeschnitten werden könnte(?) Kann mir jemand konktret etwas über diesen Schnitt sagen? Oder muss $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} M_{2} \end{eqnarray}$ liegen oder überhaupt? Bitte um Entwirrung :-)

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