Kennt jemand eine solche Verteilung?

13.12.2011, 18:09	Ice-Tee	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennt jemand eine solche Verteilung? Meine Frage: Liebe Mathegemeinde, kennt jemand eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Form? $\begin{eqnarray} P(X=1;a,n,\gamma) = \frac{a \exp(\gamma)}{a \exp(\gamma) + (n-a)} \end{eqnarray}$ Wobei gilt: $\begin{eqnarray} a \in [0,...,n] \subset \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin darüber bei einer Transformation gestolpert. Es wäre schön, wenn ich diese Form als Erwartungswert einer binären Wahrscheinlichkeitsfunktion interpretieren könnte (Zufallsvariable X hat Werte 1 oder 0). Allerdings weiss ich leider nicht, welche Verteilung das sein könnte. Habt ihr Ideen? Danke für eure Mithilfe!
14.12.2011, 00:39	chili_12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also, wenn n und a fix sind kann man das auf jedenfall als Verteilungsfunktion benutzen, da $\begin{eqnarray} \lim_{\gamma \to \infty} \frac{a \exp(\gamma)}{a \exp(\gamma) + (n-a)}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{\gamma \to -\infty} \frac{a \exp(\gamma)}{a \exp(\gamma) + (n-a)}= 0 \end{eqnarray}$ gilt und sie diff'bar ist. Wie genau ist denn Omega aufgebaut? R x N x [0,...n] ? Das wird dann relativ kompliziert für mich g* mfg
14.12.2011, 09:12	Ice-Tee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Chili und Rest, danke für Deine Analyse! Nach weiterem Überlegen: Man kann die Formel interpretieren als Erwartungswert einer univariaten multinomialen logit-Verteilung mit n Ausgängen, wobei a den Wert 1 haben und (n-a) den Wert 0. Parameter der Verteilung ist $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} <br /> P(X=1;a,n,\gamma) = \frac{\exp(\gamma \cdot 1)}{a \exp(\gamma \cdot 1)+ (n-a) \exp(\gamma \cdot 0)}<br /> P(X=0;a,n,\gamma) = \frac{\exp(\gamma \cdot 0)}{a \exp(\gamma \cdot 1)+ (n-a) \exp(\gamma \cdot 0)}<br /> \end{eqnarray}$ Dann gilt, dass $\begin{eqnarray} <br /> E(X) = a \cdot 1 \cdot P(X=1;a,n,\gamma) + (n-a) \cdot 0 \cdot P(X=0;a,n,\gamma)<br /> = \frac{a \exp(\gamma)}{a \exp(\gamma)+ (n-a)}.<br /> \end{eqnarray}$ Das ist die Formel von oben. Ich frage mich nur, wie ich dieses Wissen nutzen kann, um eine Summe von solchen Erwartungswerten nach $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ aufzulösen, wenn a in jedem Summanden variiert. m ist eine natürliche Zahl. $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{i=1}^{K} \frac{a_i \exp(\gamma)}{a_i \exp(\gamma)+ (n-a_i)} = m\\<br /> \sum_{i=1}^{K} E(X_i;a_i,\gamma) = m\\<br /> \gamma = ?<br /> \end{eqnarray}$ P.S.: Ich wollte eigentlich im Forum HS-Stochstik posten. Aber das sollte ja egal sein, da ja in beiden Foren die gleichen Leute unterwegs sind. Falls es nicht egal ist, könnte das evtl. ein Moderator verschieben?

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