Folgerung aus dem binomischen Satz

13.12.2011, 23:03

Knock^3-Penny

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Folgerung aus dem binomischen Satz

Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier den binomischen Satz:

Für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n= \sum\limits_{k=0}^n (\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} * a^{n-k} * b^k ) \end{eqnarray*}$

nun soll ich daraus folgern:

Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n > \frac{n*(n-1)}{2} *x^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider fehlt mir der Ansatz.
Ausser rechte Seite der Folgerung ausmultipliziern fällt mir nichts ein. Aber das hilft mir leider nicht weiter...
$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)}{2} *x^2 =\frac{x^2*n^2-n*x^2}{2} =\frac{x^2*n^2} {2} - \frac{n*x^2}{2} \end{eqnarray*}$

Kann mir da jem vlt weiterhelfen?

13.12.2011, 23:06

Ungewiss

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Für n=0,1 ist die Beh. Klar, für n>=2 beachte, dass die Summe positiver Zahlen größer ist als jeder Summand.

14.12.2011, 14:37

Knock^3-Penny

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Erstmal danke für deine Antwort.

Irgendwie verstehe ich leider nicht was du meinst verwirrt

verwirrt

.
Ich glaube, ich verstehe grundsätzlich nicht, wie ich aus der Summe etwas folgern soll, was dann die Form hat "... > ... ".

14.12.2011, 14:55

klarsoweit

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RE: Folgerung aus dem binomischen Satz
Wo ist das Problem? verwirrt

verwirrt

Wenn a und b positiv sind, dann wird eine Summe der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (\binom n k \cdot a^{n-k} \cdot b^k ) \end{eqnarray*}$ immer kleiner, wenn man irgendwelche Summanden wegläßt.

Folglich ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (\binom n k \cdot a^{n-k} \cdot b^k ) \geq \sum\limits_{k=2}^2 (\binom n k \cdot a^{n-k} \cdot b^k ) \end{eqnarray*}$

15.12.2011, 13:15

Knock^3-Penny

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RE: Folgerung aus dem binomischen Satz
Das die erste Summe >= der zweiten ist sehe ich.

Aber irgendwie komme ich damit nicht zu der Folgerung... unglücklich

unglücklich

.
Durch die Folgerung wird mir ja vorgegeben a=1, oder nicht?!
b=x ???

Das setze ich in die Summe ein:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n (\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * (1^{n-k} )*(x^k))) \end{eqnarray*}$

Damit dann weiter:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n (1* (1^{n-k} )*(x^k)) \end{eqnarray*}$
, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Weiter:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n 1* (1)*(x^k) \end{eqnarray*}$
, da $\begin{eqnarray*} 1^{n-k}=1^{n-0}=1^n=1 \end{eqnarray*}$

Damit:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n(x^k)=x^1+x^2+ ... + x^n \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = x^1+x^2+ ... + x^n = endliche geometrische Reihe = (nach Formelsammlung) \frac{1-x^{k+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq -1 \end{eqnarray*}$

und nun???

15.12.2011, 13:37

klarsoweit

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RE: Folgerung aus dem binomischen Satz

Zitat:

Original von Knock^3-Penny
Damit dann weiter:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n (1* (1^{n-k} )*(x^k)) \end{eqnarray*}$
, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Warum du $\begin{eqnarray*} \binom n k = 1 \end{eqnarray*}$ setzt, leuchtet mir nicht ein.

Zitat:

Original von Knock^3-Penny
Damit:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n(x^k)=x^1+x^2+ ... + x^n \end{eqnarray*}$

Daß das Unfug ist, sieht man schon für n=1 bzw. n=2.

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15.12.2011, 14:23

Knock^3-Penny

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Na ja,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$ per Defintion http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

oder verstehe ich das falsch?

Ich glaube ich verstehe nicht, warum ich bei der Summe als Index n und k habe und wo ich was einsetzen muss....

15.12.2011, 14:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knock^3-Penny
Na ja,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$ per Defintion http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

oder verstehe ich das falsch?

Das mag ja sein, aber in der Summe steht $\begin{eqnarray*} \binom n k \end{eqnarray*}$ und nicht das, was du gerne hättest.

Zitat:

Original von Knock^3-Penny
Ich glaube ich verstehe nicht, warum ich bei der Summe als Index n und k habe und wo ich was einsetzen muss....

Anders gesagt: du hast nicht verstanden, wie das Summenzeichen funktioniert. Das solltest du aber erstmal verstehen.

15.12.2011, 15:11

Knock^3-Penny

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Dann danke ich dir für deine Hilfe... hat allerdings nicht so viel gebracht, ausser, dass ich mich jetzt schlecht fühle und trotzdem nicht weiter bin.

Wenn es hier jemanden gibt, der mir wirklich weiterhelfen will, dann bitte melden!!!

15.12.2011, 15:39

klarsoweit

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RE: Folgerung aus dem binomischen Satz
Sorry, daß du jetzt erstmal Grundlagen lernen mußt. Also fangen wir mal an:

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n k \end{eqnarray*}$ ?

15.12.2011, 16:34

Knock^3-Penny

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danke.

da steht dann: 0+1+2+...+n

15.12.2011, 22:17

klarsoweit

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RE: Folgerung aus dem binomischen Satz
OK. Und jetzt haben wir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k \end{eqnarray*}$ .
Wie sehen da die Summanden aus?

15.12.2011, 23:04

Knock^3-Penny

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}+ ... + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ohh... n ist also eine Konstante?! Hammer

Hammer

dann habe ich ja:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^n<br /> = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}*1^{n-0}*x^0+\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}*1^{n-1}*x^1 +\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}*1^{n-2}*x^2+ ... + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} * 1^{n-n}*x^n <br /> = (1*1*1) + (n*1*x) + (\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}*1^{n-2}*x^2) + ... + (1*1*x^n)<br /> = 1 + n*x + (\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}*1^{n-2}*x^2) + ... + x^n<br /> \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 08:20

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OK. Jetzt schauen wir uns mal $\begin{eqnarray*} 1 + n*x + (\binom n 2 *1^{n-2}*x^2) + ... + x^n \end{eqnarray*}$ näher an.

Was passiert mit dem Wert der Summe, wenn du mal alle Summanden bis auf $\begin{eqnarray*} \binom n 2 *1^{n-2}*x^2 \end{eqnarray*}$ wegläßt?

16.12.2011, 09:22

Knock^3-Penny

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Guten Morgen!

dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} 1+n*x+...+x^n \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja, dass n eine natürliche Zahl ist und x positiv.
Deshalb ist $\begin{eqnarray*} x^n >= 1 \end{eqnarray*}$

Achso, und $\begin{eqnarray*} n*x >=1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} 1+n*x+...+x^n \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} >= 3 \end{eqnarray*}$ .

und zu der 3 wird dann noch das "..." addiert.

Richtig?

16.12.2011, 11:30

klarsoweit

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Ich weiß nicht, ob ich undeutlich rede. Du solltest alle Summanden streichen bis auf $\begin{eqnarray*} \binom n 2 *1^{n-2}*x^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann hast du logischerweise: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n > \binom n 2 *1^{n-2}*x^2 \end{eqnarray*}$

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