Kombinatorik: runder Tisch mit Paar

14.12.2011, 01:08

wo7k55la

Kombinatorik: runder Tisch mit Paar

7 Personen werden an einen runden Tisch gesetzt,
2 Personen davon (Franz und Maria) möchten zusammensitzen.
Auf wie viele Arten können Sie die 7 Personen um den Tisch herum setzen?

Ich habe mir gedacht:
Franz setzt sich irgendwo an den Tisch, also 7 Möglichkeiten. Maria setzt sich links oder rechts neben ihn, also 2 Möglichkeiten. Es bleiben noch 5 Plätze übrig, auf die sich die anderen Personen beliebig verteilen, also noch 5!.
7 * 2 * 5!
Da die konkreten Platznummern keine Rolle spielen, kann man die Anordnung nun noch "rotieren" lassen, d. h. es muss alles durch 7 geteilt werden.
(7 * 2 * 5!) / 7 = 240

Die Lösung erklärt:

Zitat:

Franz und Maria werden als eine Person betrachtet. Allein für Franz und Maria gibt es 2! = 2 Sitzordnungen. Da eine Permutation eine lineare Anordnung der beteiligten Elemente darstellt, führt dieser Ansatz nicht vollständig zur Lösung. Zum Ergebnis muss noch die Anzahl derjenigen Sitzordnungen addiert werden, bei denen beide
Personen am Ende und am Anfang der Permutation sitzen.

Eine Person wird irgendwohin gesetzt. Somit können die restlichen 6 Personen in 5! * 2 = 240 Arten um den Tisch gesetzt werden, wenn ein Paar zusammensitzt. Die übrigen Gäste können auf 4! = 24 verschiedene Arten sitzen. Mit den 2! Sitzordnungen des Paares am Anfang und am Ende der Permutation ergeben sich schließlich als Gesamtlösung 5! * 2 + 4! * 2! = 240 + 48 = 288 verschiedene Sitzordnungen, in denen ein Paar zusammensitzt.

Die unterstrichenen Aussagen kann ich nicht nachvollziehen.
Woher kommen die "übrigen" Gäste? Es sind doch nur 7 Personen - und diese wurden bereits verteilt!?

Kann jemand versuchen, mir das etwas verständlicher zu erklären?

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