Halbwertzeit Kontrastmittel

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engelchen375 Auf diesen Beitrag antworten »
Halbwertzeit Kontrastmittel
Meine Frage:
hallo smile

Ich habe hier eine Halbwertszeitfunktion Mn, Mn gibt die nach n Stunden noch vorhandene Restmenge eines Kontrastmittels in der Leber an.



Jetzt soll jedoch der Restwert minütlich gemessen werden. und diese Funktion heißt Ln , wobei n nun die Minuten sind.

Also sozusagen: M0 = L0 ; M1 = L60; M2 = L120

Zudem ist die abgebaute Menge des Kontrastmittel ins jeder Minute proportional zur noch vorhandenen Restmenge Ln.

Nun muss eine Rekursionsformel und dann die expliziete Formel bestimmt werden.

Meine Ideen:
Nun muss ich eine Halbwertsfunktion aufstellen. Ln = c * e^at

da M0 = L0 ist c = 0.75. a ist der proportionalotäts faktor. doch wie bestimme ich den? muss der 1/60 sein von dem a in der Funktion Mn.?

und diese wäre ja auch die expliziete form. wie mache ich das mit der Rekursions form? da müsste ich ja die Folge beachten.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens heisst es explizit, ohne ie (!).
Zweitens ist die von dir angegebene Funktion in dieser Form KEINE Zerfallsfunktion!



Und drittens ist die (zusätzliche) Forderung nach der Proportionalität zum Sättigungsmanko (Restbestand) mit einer einfachen Exponentialfunktion nicht mehr realisierbar.
Stichwort: Logistisches Wachstum

Du solltest also nähere Informationen zu der Aufgabe bekanntgeben. Wie hat sie im ursprünglichen Text (bitte vollständig und im Originaltext) ausgesehen?

mY+

Bemerkung zur Umrechnung der Zerfallskonstanten (k) von Stunden in Minuten (k1):
Setze die Menge nach 1 Stunde gleich der Menge nach 60 Minuten:

engelchen375 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kontrastmittel, das für Röntgenaufnahmen gespritzt wird, reichert sich in der Leber an. Dort wird es mit einer Rate abgebaut, die proportional zur vorhandenen Menge des Kontrastmittels belastet. M0 = 0.75. und nach zwei Stunden lassen sich noch 0,747gr des Konstastmittels in der Leber nachweisen.

Der Abbau des Kontrastmittels wird durch die Rekursionsformel:



Leiten Sie die explizite Form her.

Meine Lösung :



Das ist doch richtig oder nicht?

Nun soll die verbleibene Restmenge minütlich gemessen werden. Hier bezeichnet nun
die verbleibende Restmenge des Kontrastmittels nach n Minuten.

es gilt anscheind:

allgemein gilt

Wir gehen auch hier davon aus, dass die in jeder Minute abgebauten Menge des Kontrastmittels proportional zur noch vorhandenenn Restmenge Ln ist.

Geben Sie die entsprechende Rekursionsformel und die zugehörige explizit von n abhängige Darstellung von n an.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, in deiner ersten Antwort fehlte bei dir das Minuszeichen im Exponenten, deshalb war dies so nicht richtig.

Die Sache mit der Proportionalität zum Restbestand hatte ich missverstanden, das ist natürlich nicht das Sättigungsmanko (das wäre nämlich eine andere Geschichte). Somit lässt sich der Vorgang mit einer exponentiellen Zerfallsfunktion beschreiben.

Bei der Lösung musst du die ganze Funktion hinschreiben, keinesfalls nur den einzelnen Term. Die Konstante im Exponenten sollte möglichst genau verwendet werden, denn hier wirken sich Rundungsfehler besonders krass aus.

k = rund 0.002004 ist akzeptabel, somit stimmt deine Rechnung.



Für die Minuten-Funktion musst du k nur noch so umrechnen, wie ich es dir im Vorpost beschrieben habe.

mY+
engelchen375 Auf diesen Beitrag antworten »

also kann meine rekursionsformel wie folgt lauten:



und meine dazu explizite form:

= ??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die explizite Funktion stimmt.
Bei der Rekursion kann ich dir nicht folgen, wie du darauf kommst.

mY+
 
 
engelchen375 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abbau des Kontrastmittels wird durch die Rekursionsformel:



diese rekursions form habe ich umgeformt in die, die ich angegeben hatte. ich dachte mir, dass die rekursions formel ja was mit folgen zu tun haben muss. und a/60 * Mn da nun die minuten in betracht gezogen werden müssen.

wie komme ich denn auf die richtige rekursionsformel?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behandlung der Rekursion ist diffiziler als es den Anschein hat. Denn die (exakte) Proportionalität betrifft immer nur das Verhältnis in einer ganz kurzen (--> unendlich kleinen) Zeitspanne, sie betrifft also das kontinuierliche Wachstum bzw. den kontinuierlichen Zerfall und nicht das Differenzenverhältnis nach 1 Stunde oder 1 Minute.
Genaugenommen ist also die Konstante a bei der angegebenen Rekursionsformel (im Zeitraum von 1 Stunde) abgesehen vom Vorzeichen NICHT identisch mit dem Faktor im Exponenten des Funktionstermes. Die Unterschiede sind allerdings nur sehr gering (aber dennoch vorhanden).

Eine genaue Berechnung zeigt, dass bei der Rekursionsformel

(wegen des Zerfalls wird nur der Betrag genommen)

ist, währenddessen in der expliziten Funktion die Potenz erscheint. Der Zusammenhang zwischen a und k > 0 (Konstante im Exponenten d. e-Fkt.) ergibt sich durch Einsetzen in die Rekursionsformel und ist exakt



In der Rekursion ist der Betrag von a zu schreiben.
Der gleiche Sachverhalt trifft auch in der Minutenfunktion zu, dort ist



Sieht man von diesen Unterschieden ab, kann die Rekursion näherungsweise so belassen werden.

mY+
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