Beweis aus der Vorlesung: Basen und Dimensionen

14.12.2011, 13:41

pajogamoma

Beweis aus der Vorlesung: Basen und Dimensionen

Meine Frage:
Hallo,

wir hatten in der Vorlesung einen Beweis, wen ich nicht verstanden habe.
Es geht um diesen Satz:

Sei K ein Körper. Dann hat jedes homogene Gleichungssysthem über K mit mehr unbestimmten als Gleichungen eine nichttriviale Lösung.

Beweis:

Sei m die Zahl der Gleichungen. Wir beweisen den Satz durch Induktion über m. Es genügt den Fall m+1 zu beweisen.

Im Fall m=1 habe wir die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
zu betrachten. Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_{11}=0 \end{eqnarray*}$ ist wählen wir
$\begin{eqnarray*} x_1=1,\ x_2=0,\ bei\ \alpha_{11}\neq0, \ x_1=\alpha_{12},\ x_2=-\alpha_{11} \end{eqnarray*}$ .

Für den inuktionsschluss sei $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn alle alphas gleich null sind können wir $\begin{eqnarray*} x_1, ...,x_n \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, speziell ungleich null.
Sonst existiert ein $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij}\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Nun wird das Gleichungssysthem umgewandelt:
$\begin{eqnarray*} \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2+...+\alpha_{1,n+1}x_{n+1}=0 0+\alpha'_{22}x_2+...+\alpha'_{2,n+1}x_{n+1}=0 . . . 0+\alpha'_{n2}x_2+...+\alpha'_{n,n+1}x_{n+1}=0 \end{eqnarray*}$

Nach Induktionsvorrausstezung besitzt das obige systhem ohne die 1. Gleichung einenichttriviale Lösung $\begin{eqnarray*} x_2,...,x_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Wir setzen dann
$\begin{eqnarray*} x_1 =-\frac{1}{\alpha_{11}}(\alpha_{12}x_2+...+\alpha_{1,n+1}x_{n+1}) \end{eqnarray*}$
und erhalten so die gesuchte Lösung des Ausgangssysthems.

Ok meine Fragen sind

1. Warum gilt das da

Im Fall m=1 habe wir die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
zu betrachten. Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_{11}=0 \end{eqnarray*}$ ist wählen wir
$\begin{eqnarray*} x_1=1,\ x_2=0,\ bei\ \alpha_{11}\neq0, \ x_1=\alpha_{12},\ x_2=-\alpha_{11} \end{eqnarray*}$ .

das mit dem einem alpha und dem einem x gleich null und dem anderem alpha und x gleich eins sind willkürliche Werte, oder?
Ich bin mir nicht so ganz sicher wie man auf die Werte kommt, kann mir das evtl jmd vorrechnen oder sagen wie das zustande kommt? Vorallem wenn alpha ungleich null ist...

2. Frage
Für den inuktionsschluss sei $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn alle alphas gleich null sind können wir $\begin{eqnarray*} x_1, ...,x_n \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, speziell ungleich null.
Sonst existiert ein $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij}\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Warum existiert denn sonst ein alpha ungleich null. Warum gibt es da ein Sonst bzw woher kommt das?

Ich gleube den Rest des Beweises habe ich verstanden.

Danke für Die Hilfe

Meine Ideen:
Nee, irgendwie nicht..

14.12.2011, 15:09

Ibn Batuta

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RE: Beweis aus der Vorlesung: Basen und Dimensionen

Zitat:

Original von pajogamoma
Im Fall m=1 habe wir die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \alpha_{11}x_1+\alpha_{12}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
zu betrachten. Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_{11}=0 \end{eqnarray*}$ ist wählen wir
$\begin{eqnarray*} x_1=1,\ x_2=0,\ bei\ \alpha_{11}\neq0, \ x_1=\alpha_{12},\ x_2=-\alpha_{11} \end{eqnarray*}$ .

Ich fang mal hier an, weil ich das nicht verstehe.

Stand das wirklich so da? Das ist doch ein Widerspruch in sich, da ich erst einmal $\begin{eqnarray*} \alpha_{11} = 0 \end{eqnarray*}$ wähle und dann im selben Atemzug sage, dass $\begin{eqnarray*} \alpha_{11} \ne 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ibn Batuta

14.12.2011, 15:31

pajogamoma

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RE: RE: Beweis aus der Vorlesung: Basen und Dimensionen
ich denke dass ist eine Fallunterscheidung für

falls $\begin{eqnarray*} \alpha_{11}=0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x_1=1,\ x_2=0 \end{eqnarray*}$
und falls $\begin{eqnarray*} \alpha_{11}\neq0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x_1=\alpha_{12}, x_2=-\alpha_{11} \end{eqnarray*}$

so wie ich das verstanden habe..

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