Kann man diese Funktion differenzieren?

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Ice-Tee Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man diese Funktion differenzieren?
Liebe Matheboarder,

ich knobele gerade an einer Funktion herum von der ich weiss, dass sie streng monoton steigend ist in x und somit theoretisch differenzierbar sein sollte. Allerdings weiss ich nun nicht, wie ich sie weiter umformen kann. Gibt es einen Trick, auf den ich nicht komme, oder kann man zeigen, dass die Funktion aus irgendeinem Grund eben doch nicht differenzierbar ist?



Hier noch ein paar Erklärungen
  • ist eine bekannte, diskrete Wahrscheinlichkeit mit
  • ist eine bekannte, natürliche Konstante
  • Teil III kann man als multinomiales, univariates Logit-Modell verstehen mit Parameter x. Es gibt jeweils i Ausgänge mit dem Wert 1 und (n-i) Ausgänge mit dem Wert 0. Es ist somit auch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion:



Ich zerbreche mir nun schon eine Weile den Kopf wie man das x separieren kann, komme aber nicht weiter. Ich ende mit komplizierten -Termen. Wenn man die Funktion aber plottet, stellt man fest, dass es eigentlich eine simpel aussehende, sigmoide, streng monoton steigende Kurve ist, die "links" und "rechts" jeweils gegen einen Wert zwischen 0 und 1 konvergiert. Der Wendepunkt liegt bei x=0.

Hat jemand eine Idee? Danke!!


Anm.: Eine vorangegangene Frage zum gleichen Themen-Komplex hatte ich ins Stochastik-Board gepostet, da ging es um die Interpretation von Teil III der Funktion.
Gast12221 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man diese Funktion differenzieren?
"dass sie streng monoton steigend ist in x und somit theoretisch differenzierbar sein sollte"

streng monoton impliziert doch nicht einmal stetigkeit, also schonmal gar nicht
differenzierbarkeit. Wie soll man schon deinen ersten Satz deuten?
Das "theoretisch differenzierbar" erfreut mich jetzt auch nicht wirklich...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht verstehe ich gerade etwas nicht, aber da die Summe endlich ist, steht dort doch eine Komposition differenzierbarer Funktionen. Damit ist sie auch differenzierbar.

air
Ice-Tee Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Airblader und Gast12221,

danke für die schnellen Antworten und sorry für die unpräzise Fragestellung!

Meine Frage ist: Ist diese Funktion invertierbar?

Ich will sie also auf folgende Art umformen:


Grüsse!
Eistea Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe Matheboarder,

Ich habe hier noch eine Screenshot der Funktion (mit Beispielparametern), die die Form einer sigmoiden Kurve hat. Als mathematisch naiver Mensch (wie man oben sieht Augenzwinkern ) würde ich denken, dass sich diese Funktion auch irgendwie invertieren lassen muss. Nur leider weiss ich nicht wie. Vielleicht hat ja dazu noch jemand einen Tipp!

Ich danke euch schonmal.

http://www.picvalley.net/u/1823/6699057720456191231323878823AiEuZm2fqwNhKZOKuDuM.PNG
Eistea Auf diesen Beitrag antworten »

Die einzige (triviale) Lösung für x finde ich, wenn ich ein setze (und somit alle bis auf einen Term null werden).
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

An dieser Stelle sollte mal gefragt werden, wozu du diese Funktion überhaupt invertieren willst?
Eistea Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
An dieser Stelle sollte mal gefragt werden, wozu du diese Funktion überhaupt invertieren willst?


Hallo gonnabphd,



ist die Ableitung einer konkaven Funktion, für die ich allgemein das x ermitteln möchte, das sie maximiert. y ist eine (bekannte und konstante) Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.

Es gibt genau ein solches maximierendes x, daher habe ich die Funktion Null gesetzt und versucht, nach x aufzulösen. Leider ohne Erfolg...

Ich denke inzwischen, dass es garnicht geht, da die Funktion (ausser im Bereich y in [0,1]) eben nicht stetig ist (das war mis bis heute Mittag nicht klar). Ich hatte gehofft, dass man über die speziellen Funktions- und Parameter-Eigenschaften der Lösung näher kommen kann oder dass die Reihe irgendeine geschlossene Form hat.

Falls Du doch noch Ideen hast, würde ich mich natürlich freuen.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, aber wozu brauchst du das?

Wenn du z.B. für eine Anwendung konkrete Werte berechnen willst, kannst du numerische Methoden benutzen.

Eine geschlossene Form zu bestimmen ist häufig nicht möglich für solche Ausdrücke. Meistens ist sie aber auch nicht wirklich notwendig.
Eistea Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gonnabphd,

Du hast vollkommen recht. Man kann die Funktion z.B. mit einem Newton-Verfahren optimieren. Mich interessiert aber, was die Eigenschaften des Optimums sind. Aus der Form oben folgt z.B. dass im Optimum y gleich der summe sein muss, die man als einen Erwartungswert interpretieren kann.

Aber was das für den Parameter x im Detail bedeutet, habe ich noch nicht verstanden.

Danke der Nachfrage! Über Ideen, was man anders machen kann, würde ich mich natürlich freuen.
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