aufsuchen von polynomfunktionen

14.12.2011, 15:00	sydney94	Auf diesen Beitrag antworten »
aufsuchen von polynomfunktionen Meine Frage: 1) Der Graph einer polynomfunktion f vom Grad 4 ist symmetrisch der 2. achse und geht durch den Punkt P=(0/2). Die Stelle 1 ist eine Nullstelle und lokale Extremstelle von f. Ermittle eine Termdarstellung von f. 2) Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 4 besitzt den Tiefpunkt T=(2/0) und den Wendepunkt W=(0/0). Die Wendetangente bildet mit der positiven 1. Achse einen Winkel von 45°. Ermitlle eine Terdarstellung von f. Da ich im Unterricht gefehlt habe, habe ich keine Ahnung was zu tun ist bitte um Hilfe. Meine Ideen: Ich weiß zwar dass ich 5 Infos brauche doch ich weiß nicht wie ich sie bekomme und wie ich sie verarbeite. Brauche dringend eine Lösung. Danke!!
14.12.2011, 15:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Der Graph einer polynomfunktion f vom Grad 4 ist symmetrisch der 2. achse und geht durch den Punkt P=(0/2). Die farblich markierten Stellen sind die Bedingungen, die die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ erfüllen muss. Schau Dir am besten noch einmal das Thema Kurvendiskussion an. Da ist alles drin, was Du zur Bearbeitung dieser Aufgabe benötigst. Zu Klären sind hier folgende Punkte: - Woran erkennt man die Symetrie einer Funktion? - Welche Gleichung muss ein Punkt erfüllen, damit er auf dem Graph einer Funktion liegt? - Was ist eine Nullstelle? - Wann liegt eine Extremstelle vor?
14.12.2011, 15:35	sydney94	Auf diesen Beitrag antworten »
Oje, oje Kurvendiskussion. Symmetrie: nur gerade exponenten? 3 Gleichungen? Nullestelle: f(x) Extremstelle: f'(x) mit Steigung 0? Und welche Gleichung ein Punkt erfüllen muss, damit er auf dem Graphen liegt weiß ich noch nicht Danke für die Hilfe!
14.12.2011, 15:35	DerDepp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: aufsuchen von polynomfunktionen Hossa Zu Aufgabe 1: Symmetrisch zur y-Achse bedeutet, dass sich der Wert der Funktion nicht ändert, wenn du für x den Wert -x einsetzt. Es muss also z.B. gelten: f(3)=f(-3). Allgemein bedeutet dies: f(x)=f(-x). Du hast den Punkt (0/2) gegeben, d.h. f(0)=2. Die Stelle 1 ist eine Nullstelle, d.h. f(1)=0. Die Stelle 1 ist eine lokale Extremstelle von f, also verschwindet dort die erste Ableitung: f'(1)=0. Zu Aufgabe 2: Tiefpunkt T(2/0) bedeutet, es gibt einen Punkt (2/0), so dass f(2)=0 gilt. Ferner ist bei x=2 ein Extremum, also ist dort auch die erste Ableitung gleich Null: f'(2)=0. Es gibt einen Wendepunkt W(0/0). Also ist f(0)=0 und f''(0)=0. Die Wendetangente bildet mit der positiven x-Achse einen Winkel von 45°. Die erste Ableitung an der Stelle 0 hat also eine Steigung von 45°: f'(0)=1. Ok?
14.12.2011, 15:37	sydney94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: aufsuchen von polynomfunktionen Also: Wenn ich also wie du sagst die Infos habe (bzw. jetzt gerne hätte gg) f(0)=2 usw. .. Was sind die nächsten Schritte? Vorgang zum berechnen
14.12.2011, 16:04	DerDepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, schauen wir mal Aufgabe 1 an: Ein Polynom 4-ten Grades hat die Form: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ Die erste Bedingung ist, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Man sagt auch, die Funktion ist "gerade". Warum, wirst du jetzt sehen. Die Bedingung für Achsensymmetrie lautet: f(x)=f(-x). $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-x)=a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e \end{eqnarray}$ Beide Funktionen müssen gleich sein, also setzen wir sie gleich und schauen, was passiert: $\begin{eqnarray} ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e \end{eqnarray}$ Auf beiden Seiten fallen die Terme mit geradem x-Exponenten weg (e heißt eigentlich ex^0, so dass auch dort ein gerader Exponent vorliegt). Übrig bleiben alle Terme mit ungeraden x-Exponenten: $\begin{eqnarray} bx^3+dx=-bx^3-dx\quad\Longrightarrow\quad 2bx^3+2dx=0\quad\Longrightarrow\quad bx^3+dx=0 \end{eqnarray}$ Mit anderen Worten, aus der Achsensymmetrie folgt, dass die Summe aller Terme mit ungeradem x-Exponenten gleich 0 ist. Daher kann man sie in der Gleichung von f(x) weglassen. Übrig bleiben alle geraden Exponenten: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+cx^2+e \end{eqnarray}$ Jetzt machst du mit den anderen Bedingungen weiter: $\begin{eqnarray} f(0)=2\quad\Longrightarrow\quad a\cdot 0^4+c\cdot 0^2+e=2\quad\Longrightarrow\quad e=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=ax^4+cx^2+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(1)=0\quad\Longrightarrow\quad a\cdot 1^4+c\cdot 1^2+2=0\quad\Longrightarrow\quad a+c+2=0\quad\Longrightarrow\quad a+c=-2 \end{eqnarray}$ Nun müssen wir noch die Bedingung an die Ableitung verwenden: $\begin{eqnarray} f^\prime(x)=4ax^3+2cx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^\prime(1)=0\quad\Longrightarrow\quad 4a\cdot 1^3+2c\cdot 1^2=0\quad\Longrightarrow\quad 2a+c=0 \end{eqnarray}$ Bleibt also noch das folgende Gleichungssystem zu lösen: $\begin{eqnarray} a+c=-2\quad\land\quad 2a+c=0\quad\Longrightarrow\quad a=2\quad\land\quad c=-4 \end{eqnarray}$ Die gesuchte Funktion lautet daher: $\begin{eqnarray} f(x)=2x^4-4x^2+2 \end{eqnarray*}$ So, die zweite Aufgabe musst du jetzt alleine können!
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14.12.2011, 16:11	sydney94	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe! Ich versuche sie sobald ich kann zu lösen um dann die 2. zu probieren. Das hat mir jetzt schon sehr geholfen.
14.12.2011, 18:08	sydney94	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: aufsuchen von polynomfunktionen Ich glaube es gibt bei der 2. Nummer einiges was sich von alleine erklärt ohne dass ich es groß ausrechnen muss? Ich komme noch nicht ganz dahinter

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