Kreisbogen, Radius und Winkel

14.12.2011, 17:12	Mickey Blue	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisbogen, Radius und Winkel Ich habe ein einfaches Problem, auf dessen Lösung ich einfach nicht komme. Wie sehe ich geom. dass Kreisbogen = Winkel mal Radius ist?
14.12.2011, 17:19	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die eigentliche Definition des Bogenmaßes, zu beweisen gibt es da nichts mehr.
14.12.2011, 17:48	DerDepp	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisbogen, Radius und Winkel Hossa Der Umfang U eines Kreises mit Radius R ist bekanntlich: $\begin{eqnarray} U=2\pi\,R \end{eqnarray}$ Bei einer kompeletten Umdrehung fährt der Radiusvektor also die Länge U ab. Eine komplette Umdrehung entspricht aber auch 360 Grad. Wenn man nun keine komplette Umdrehung macht, sondern sich nur um einen Winkel alpha (in Grad gemessen) weiter bewegt, dann ist die Länge des Kreisbogens gleich $\begin{eqnarray} U(\alpha)=2\pi\,\frac{\alpha}{360^o}\,R \end{eqnarray}$ Der Einfachheit halber definiert man ein sog. "Bogenmaß". Darin wird der Winkel nicht mehr relativ zu 360°, sondern relativ zu 2pi angegeben. Die Einheit lautet dann nicht mehr "Grad", sondern "Rad". Der Umrechnungsfaktor folgt direkt aus der Gleichung von zuvor: $\begin{eqnarray} \alpha[\mbox{rad}]=\frac{2\pi}{360}\,\alpha[\mbox{grad}] \end{eqnarray}$ Gibt man den Winkel im Bogenmaß an, ist die Länge des Kreisbogens dann gleich: $\begin{eqnarray} U(\alpha)=\alpha\,R\quad;\quad\alpha\;\mbox{in rad} \end{eqnarray*}$ Ok?

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