Ausgleichsproblem

11.01.2007, 17:51	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsproblem Hallo, könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Es seien $\begin{eqnarray} A \in R^{m,n}, b \in R \end{eqnarray}$ . Ferner sei x* $\begin{eqnarray} \in R \end{eqnarray}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray} (A^TA + \lambda I_n)x = A^Tb \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2 = \alpha \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} z= \frac{1}{\lambda} (Ax-b) \end{eqnarray}$ der Bedingung $\begin{eqnarray} \\|A^Tz\\|_2 = \alpha \end{eqnarray}$ genügt. hab mal angefangen, das einzusetzen, in der hoffnung dass ich zum schluss $\begin{eqnarray} \\|(A^TA+ \lambda I_n)^{-1} A^T b\\|_2 =\\| x\\|_2 = \alpha \end{eqnarray}$ rausbekommen würde, aber irgendwie funkioniert ads nicht help $\begin{eqnarray} \\|A^Tz\\|_2 = \\|A^T \frac{1}{\lambda} (Ax-b)\\|= \\| \frac{1}{\lambda} A^TAx* - \frac{1}{\lambda} A^T b\\| =(\frac{1}{\lambda} (A^TAx)^T- \frac{1}{\lambda}(A^Tb)^T)(\frac{1}{\lambda} A^TAx\ - \frac{1}{\lambda}A^Tb) = ?? \end{eqnarray*}$
12.01.2007, 17:58	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausgleichsproblem Hallo kingskid! Ich versuch's einmal: $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R ^{m,n}, b\in \mathbb R ^n,x\in \mathbb R ^n,x^\in \mathbb R ^n,\lambda>0, \mid \mid x \mid \mid = \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A^TA+\lambda I_n)x^* = A^Tb \text{ weil } x^* \text{ Lösung} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (A^T)^{-1}(A^TA+\lambda I_n)x^= (A^T)^{-1}A^Tb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (A+ \lambda (A^T)^{-1})x^= b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Ax^- b= - \lambda (A^T)^{-1}x^\Rightarrow \frac{1}{\lambda } (Ax^- b)= z = - (A^T)^{-1}x^ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^Tz= -x^\Rightarrow \mid \mid A^Tz \mid \mid= \mid \mid x^ \mid \mid= \alpha \end{eqnarray*}$ Was meinst du? Gruss yeti
12.01.2007, 18:15	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhuu Yeti, yea das ist cool. nur woher weißt du ob A^T überhaupt invertierbar ist? hab inzwischen rausgefunden, dass es auch funktioniert, wenn man einfach diese gleichung $\begin{eqnarray} (A^TA+\lambda I_n)x = A^Tb \end{eqnarray}$ umformt... bin aber auch nicht selbst draufgekommen... viele grüße kingskid
13.01.2007, 11:16	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Königskind! Wolltest den alten Yeti nicht erschrecken und hast deshalb so sanft "huhuu" gerufen ? War natürlich ein den ich da hingeschrieben habe . Nun, ich bin ja hier im Board, um zu lernen. Also wie wär's damit: $\begin{eqnarray} (A^TA+\lambda I_n)x^ = A^Tb\,\,(1),\,\,\,z= \frac{1}{\lambda} (Ax^-b)\,\,(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^Tz= A^T \frac{1}{\lambda} (Ax^-b)\,\,\text{gemäss }(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^Tz= \frac{1}{\lambda} A^TAx^- \frac{1}{\lambda}A^Tb= \frac{1}{\lambda} A^TAx^- \frac{1}{\lambda}(A^TA+ \lambda I_n)x^\,\,\,\text{gemäss }(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^Tz= \frac{1}{\lambda} A^TAx^- \frac{1}{\lambda} A^TAx^- \frac{1}{\lambda} \lambda I_nx^= - x^* \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mid \mid A^Tz \mid \mid = \mid \mid x^* \mid \mid= \alpha \end{eqnarray*}$ Gruss yeti
14.01.2007, 19:09	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi yeti das sieht gut aus hier ist mein vorschlag: $\begin{eqnarray} (A^TA + \lambda I_n)x = A^Tb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T A x + \lambda x - A^T b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T \frac{1}{\lambda} (Ax - b) = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T z = - x \end{eqnarray}$ --> bilde norm, voila müsste auch richtig sein, oder? viele grüße kingskid
15.01.2007, 12:14	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kingskid! Ist sogar besser, da kürzer ! Gruss yeti
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