punktweise/gleichmäßige konvergenz

14.12.2011, 18:21

DudiPupan

punktweise/gleichmäßige konvergenz

Hallo,
ich arbeite gerade an folgender Aufgabe:
Ich soll die 2 Funktionsfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen:
$\begin{eqnarray*} (f_{n})_{n \in \mathbb N} \in F( \mathbb R , \mathbb R) \end{eqnarray*}$

i) $\begin{eqnarray*} f_{n} := \sqrt{ \frac{1}{n^2} + x^{2}} \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} x^{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1} (1+x^{2})^{-k} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten bin ich wie folgt vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f_{n}=\sqrt{x^{2}}=x=:f(x) \end{eqnarray*}$
Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ stetig ist, so konvergiert $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ auch gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten fehlt mir jedoch jeglicher Ansatz.

Vielen Dank

14.12.2011, 18:50

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: punktweise/gleichmäßige konvergenz
Deine Grenzfunktion ist falsch, ausserdem folgt aus der Stetigkeit der Grenzfunktion keine gleichmäßige Konvergenz.

14.12.2011, 19:10

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist die Grenzfunktion falsch?
1/n² geht doch gegen 0 für n -> unendlich, oder?
Aber wie mache ich es dann richtig?

14.12.2011, 19:20

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: punktweise/gleichmäßige konvergenz

Zitat:

Original von DudiPupan
[latex]\sqrt{x^{2}}=x

Das stimmt einfach nicht, siehe deine Unterlagen aus der 9. Klasse

14.12.2011, 19:24

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, blöd!
Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ !
Sorry!
Aber wir zeige ich nun die gleichmäßige konvergenz?

14.12.2011, 19:32

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b\geq0 \end{eqnarray*}$ könnte helfen.

Edit: Ist die zweite so richtig? Da steht im Moment eine leere Summe und die wäre einfach 0.

14.12.2011, 20:06

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann:

$\begin{eqnarray*} f_{n}= \sqrt{ \frac{1}{n^2} + x^2 } \leq \sqrt{ \frac{1}{n^2} } + \sqrt{x^2} = | \frac{1}{n}| + |x| \end{eqnarray*}$

Sorry, das oben war ein Tippfehler.
Sollte k=0 nicht k=n heißen!

14.12.2011, 20:42

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich hab es jetzt mal so versucht:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| =| \sqrt{ \frac{1}{n^2}+x^2}-|x|| \leq |\sqrt{1}{n^2}+\sqrt{x^2}-|x||=\frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

14.12.2011, 21:01

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ sein?

Aber der Ansatz ist in Ordnung.

14.12.2011, 21:08

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht zu jeden $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt?

14.12.2011, 21:16

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das vernünftig dazuschreibst, dann ist die Lösung korrekt.

14.12.2011, 21:23

DudiPupan

Auf diesen Beitrag antworten »

ungefähr so:
zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \leq n \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0}<\epsilon \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig konvergent!

Passt das so?

Und wie gehe ich bei der ii) vor?

Vielen Dank, für deine Hilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

punktweise/gleichmäßige konvergenz

Verwandte Themen