Pseudoinverse??

11.01.2007, 17:58	Tommy00	Auf diesen Beitrag antworten »
Pseudoinverse?? Guten Abend, ich habe hier einen Satz zur Pseudoinversen vor mir liegen, der mir einfach nichts sagt: Vielleicht könntet ihr mir weiterhelfen! $\begin{eqnarray} Hat\ A \ vollen \ Zeilenrang \ m, \ so \ existiert \ eine \ Rechtsinverse \ B=A^{t}(AA^{t})^{-1} \ mit \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} der \ Eigenschaft \ A\cdot B= 1 \ (Einheitsmatrix)\ Es \ gilt \ A^{+} = B \end{eqnarray}$ Wie kann man das beweisen? Außerdem soll die Pseudoinverse für A=(2,2) bestimmt werden! Wie kann man das machen? Gruß Tommy
11.01.2007, 20:05	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pseudoinverse?? Hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ vollen Zeilenrang, so sind die Zeilen von A linear unabhängig und $\begin{eqnarray} AA^T \end{eqnarray}$ ist eine symmetrische, invertierbare $\begin{eqnarray} m x m \end{eqnarray}$ -Matrix (sofern $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} m x n \end{eqnarray}$ -Matrix ist. Für $\begin{eqnarray} A B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B:= A^T(AA^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt dann was? (einfach einsetzen) Gruß Armin
12.01.2007, 10:52	Tommy00	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kommt doch dann die Einheitsmatrix raus, bei A*B oder?
12.01.2007, 13:35	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Gruß Armin
12.01.2007, 14:44	tommy00	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Armin, ist damit schon der Beweis fertig? Wie kann man das A=(2,2) bestimmen? Gruß Tommy
12.01.2007, 15:07	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, da $\begin{eqnarray} A A^T(AA^T)^{-1} = I \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Rechtsinverses sein. Zu zeigen wäre prinzipiell, dass $\begin{eqnarray} AA^T \end{eqnarray}$ invertierbar ist, falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ vollen Zeilenrang hat. (Genauso, dass $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ invertierbar ist falls A vollen Spaltenrang hat, i.e. die Spalten von A linear unabhängig sind.) Zu $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ musst du ein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ \end{pmatrix} * B = 1 \end{eqnarray}$ (1 ist die "1 x 1" Matrix, mit nur einem Eintrag 1). Wie du das machst? Einfach in die "Formel" einsetzen! $\begin{eqnarray} B = A^{+} = A^T(AA^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ Gruß Armin
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