sum_a sum_b (a-b) == sum_a sum_b a - sum_a sum_b b?

14.12.2011, 20:22

mzh

sum_a sum_b (a-b) == sum_a sum_b a - sum_a sum_b b?

Liebes Forum
Stimmt es, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_a \sum_b (a-b) = \sum_a \sum_b a - \sum_a \sum_b b \end{eqnarray*}$
Und, da ja in der ersten Summe b und in der zweiten Summa a nicht vorkommt, "verfällt" die Summe über den jeweiligen Index, also dass
$\begin{eqnarray*} \sum_a a - \sum_b b \end{eqnarray*}$
übrigbleibt. Korrekt?
Also, allgemein $\begin{eqnarray*} \sum_i a =0 \end{eqnarray*}$ , richtig?? Beachte, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hat *keinen* Index.

14.12.2011, 20:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von mzh
Und, da ja in der ersten Summe b und in der zweiten Summa a nicht vorkommt, "verfällt" die Summe über den jeweiligen Index

Nein, sie verfällt nicht: Es bedeutet lediglich, dass bzgl. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ immer über denselben Wert summiert wird. Vollständig exakt wäre die Rechnung also so

$\begin{eqnarray*} \sum_{a\in A} \sum_{b\in B} (a-b) = \sum_{a\in A} \sum_{b\in B} a - \sum_{a\in A} \sum_{b\in B} b = |B|\cdot \sum_{a\in A} a - |A|\cdot \sum_{b\in B} b \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |B| \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente der jeweiligen Mengen kennzeichnet.

14.12.2011, 20:36

mzh

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Also etwa
$\begin{eqnarray*} \sum_i^N a = a^{(1)} + a^{(2)} + \cdots + a^{(N)} = N\cdot a \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a^{(i)} \end{eqnarray*}$ das i-te Element der Summe ist. Dann wäre also $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gleich deinem $\begin{eqnarray*} |B| \end{eqnarray*}$ . Muss das nicht irgendwo definiert werden? Was ist denn die Summe über 'i' von gar nichts, also $\begin{eqnarray*} \sum_i=? \end{eqnarray*}$

14.12.2011, 20:39

HAL 9000

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Deine Summen-Notation ist fürchterlich: Schlampigkeit kann man sich vielleicht leisten, wenn man voll durchblickt, das ist bei dir aber anscheinend noch nicht der Fall.

Also: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N a = N\cdot a \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Der von dir genannte Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |B| \end{eqnarray*}$ erschließt sich mir nicht ohne weitere Informationen über deinen Sachverhalt. unglücklich

14.12.2011, 20:41

mzh

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Ok, sagen wir ich hätte das so geschrieben
$\begin{eqnarray*} \sum_{a=1}^N \sum_{b=1}^N (a-b) = N\sum_{a=1} a - N\sum_{b=1} b \end{eqnarray*}$
Würde das gelten?

14.12.2011, 20:43

HAL 9000

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Es wird immer schlimmer...
Jetzt reichts: Informiere dich erstmal, wie man das Summensymbol richtig gebraucht, ansonsten hat das hier alles keinen Zweck:

http://de.wikipedia.org/wiki/Summensymbo...m_Summenzeichen

14.12.2011, 20:45

mzh

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RE: Es wird immer schlimmer...
also es wäre hilfreich, wenn du evtl. darauf hinweisen könntest, was genau fehlt.

14.12.2011, 20:47

HAL 9000

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Also bitte, das siehst du doch. Hier ist Hochschulmathematik, kein Kindergarten.

14.12.2011, 20:50

mzh

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War nicht persönlich gemeint.

14.12.2011, 20:54

HAL 9000

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Also gut, obwohl ich es schon sehr merkwürdig finde, dass du das nicht selbst siehst:

Zitat:

Original von mzh
Ok, sagen wir ich hätte das so geschrieben
$\begin{eqnarray*} \sum_{a=1}^N \sum_{b=1}^N (a-b) = N\sum_{a=1} a - N\sum_{b=1} b \end{eqnarray*}$
Würde das gelten?

Hier fehlen doch rechts die oberen Indizes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{a=1}^N \sum_{b=1}^N (a-b) = N\sum_{a=1}^N a - N\sum_{b=1}^N b \end{eqnarray*}$ .

In dem Fall kommt natürlch wirklich Null heraus.

14.12.2011, 20:59

mzh

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ok, einverstanden. Und ja, gibt 0 in dem Fall.
Ich hab da keine Aufmerksamkeit bedacht, weil in meinem echten Problem $\begin{eqnarray*} a:=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1dx_2\Psi_a\Psi_a r_{12}^{-1}\Psi_b\Psi_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1dx_2\Psi_a\Psi_b r_{12}^{-1}\Psi_b\Psi_a \end{eqnarray*}$ sind, dh. die Doppelsumme würde nicht 0 ergeben.
Aber eben, wenn wir dabei sind, dann ergibt also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N = N \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2011, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mzh
Aber eben, wenn wir dabei sind, dann ergibt also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N = N \end{eqnarray*}$ ?

Summe worüber soll gleich $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sein?

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N {\color{red} ?} \end{eqnarray*}$

14.12.2011, 21:10

mzh

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Über nichts. Meine Frage ist (war wohl nicht klar), ob dass dann definiert ist oder nicht. 0! ist ja auch per Definition 1, und ich dachte mir vielleicht wird für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N \end{eqnarray*}$ auch ein Wert definiert.

14.12.2011, 21:11

HAL 9000

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Über "nichts"? Also über Null? Nein, da kommt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^N 0 = N\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

heraus, siehe oben.

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sum_a sum_b (a-b) == sum_a sum_b a - sum_a sum_b b?

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