Homogene Differentialgleichung

15.12.2011, 17:24

Stabilo

Homogene Differentialgleichung

Meine Frage:
Löse die folgende homogene Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} \left(1+ x\right)z^{'} - xz+ x=0 \end{eqnarray*}$

Ich kann mit der Form irgendwie nichts anfangen.

Kann mit jemand sagen wie man sowas lösen kann?

Meine Ideen:

15.12.2011, 17:27

Mulder

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RE: Homogene Differentialgleichung
Einfach Trennung der Variablen.

15.12.2011, 17:41

Stabilo

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Also dann würde das erstmal so aussehen?

z'=xz+x/(1+x)

15.12.2011, 17:49

Mulder

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Da sind die Variablen nicht getrennt.

Im übrigen fehlen Klammern und darüber hinaus hast du auch noch einen Vorzeichenfehler drin.

16.12.2011, 11:07

Stabilo

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Also:

$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{\left(x\cdot z\right)- x }{\left(1+ x\right) } \end{eqnarray*}$

Kann mal bitte jemand gucken ob ich die Variablen richtig getrennt habe?

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z} =dx\cdot \frac{\left(1+ x\right) }{x}-x \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 11:33

klarsoweit

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Das ist schlicht falsch.

16.12.2011, 11:47

Stabilo

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Gut zu wissen!

Aber wie dann?

16.12.2011, 11:58

original

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Zitat:

Original von Stabilo
Also:

$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{x\cdot z - x }{\left(1+ x\right) } \end{eqnarray*}$

Aber wie dann?

im Zähler kannst du durch Ausklammern ein Produkt bekommen

und dann lässt sich alles schön "trennen"

oder?

16.12.2011, 14:02

Stabilo

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nächste Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \cdot dz= \frac{-x^{2} }{1+x} \cdot dx \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 14:51

klarsoweit

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Wie bist du denn jetzt auf das x² gekommen? verwirrt

16.12.2011, 14:55

Stabilo

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Wäre es ohne das ^2 denn richtig, oder ist das auch wieder totaler Blödsinn?

16.12.2011, 15:36

DerDepp

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Hossa

Was machst du da eigentlich? Warum teilst du die Gleichung nicht einfach durch "x"?

$\begin{eqnarray*} (1+x)z^\prime-xz+x=0\quad\left|\;:x\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{x}\,\frac{dz}{dx}-z+1=0\quad\left|\;+z-1\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{x}\,\frac{dz}{dx}=z-1\quad\left|\;:dz\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{x\,dx}=\frac{z-1}{dz}\quad\left|\; ( \cdots )^{-1}\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x}\,dx=\frac{1}{z-1}\,dz \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 15:52

Mulder

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Naja, das ist doch bloß eine andere Reihenfolge. Ich sehe nicht, was daran nun einfacher oder schwerer sein soll. Jedenfalls hätte es an dieser Stelle

Zitat:

Original von Stabilo
$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{\left(x\cdot z\right)- x }{\left(1+ x\right) } \end{eqnarray*}$

eigentlich nicht daran scheitern dürfen, im Zähler ein x auszuklammern. Offenbar hat Stabilo das nicht hinbekommen. Vielleicht nochmal das Distributivgesetz nachschlagen, denn wenn man solche Basics nicht beherrscht, wie will man dann in der Hochschulmathematik zurecht kommen?

$\begin{eqnarray*} xz-x = x(z-1) \end{eqnarray*}$

Und dann trennen.

17.12.2011, 15:27

original

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Zitat:

Original von Stabilo

hallo,
ich bekomme irgendwie die Trennung der Variablen nicht hin. traurig

Also:

$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{x\cdot z - x }{\left(1+ x\right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} =\frac{x\cdot ( z - 1) }{\left(1+ x\right) } \end{eqnarray*}$

die nächsten Schritte:
... beide Seiten
- mal dx
- und geteilt durch (z-1) ..................... Wink

und nun überrasche uns mit der sich dann ergebenden nächsten Zeile:

->...

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