Parallelogramm - Kräftezerlegung

15.12.2011, 19:04

DerLaborant

Parallelogramm - Kräftezerlegung

Meine Frage:

Eine Kraft $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} N (Newton) \end{eqnarray*}$ greift an einem Hebel $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}m (Meter) \end{eqnarray*}$ an.

Zerlegen Sie die Kraft in eine Komponente $\begin{eqnarray*} \vec{F} ^\perp \end{eqnarray*}$ senkrecht zum Hebel $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ und eine Komponente $\begin{eqnarray*} \vec{F} _{II} \end{eqnarray*}$ in Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

Geometrisch gesehen habe ich ja ein Dreieck, von dem ich die Hypotenuse gegeben habe und die Seitenlängen suche, oder? Habe mal versucht eine Skizze anzufertigen(Man denke sich den Vektor r gerade):
[attach]22368[/attach]
und es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \vec{F}_{||} + \vec{F} ^\perp . \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha ) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{F} ^\perp }{\vec{F} } \end{eqnarray*}$ .
Nun weiß ich aber leider nicht weiter. Kann jemanden helfen?
lg DerLaborant

15.12.2011, 19:47

Dopap

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das Ganze findet im Raume statt.

Deine Zeichnung "liegt in einer Ebene" , die durch $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ definiert wird.
Du brauchst also 2 Einheitsvektoren in dieser Ebene.

einer davon ist $\begin{eqnarray*} \vec e_p = \frac {\vec r }{|\vec r|}. \end{eqnarray*}$
p=parallel.

$\begin{eqnarray*} \vec e_s \end{eqnarray*}$ wäre der Einheitsvektor senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ in der "Ebene liegend".
s=senkrecht
Dann könnte man $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ in dieser Basis darstellen.

16.12.2011, 10:20

riwe

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$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\vec{F}_{\parallel}+\vec{F}_\perp \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_\parallel=\frac{\vec{F}\cdot\vec{r}}{r^2}\cdot\vec{r} \end{eqnarray*}$ wie man einfach mit hilfe des skalarproduktes findet.
damit kann man nun auch die senkrechte komponente bestimmen Augenzwinkern

16.12.2011, 16:17

DerLaborant

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Hey! Vielen Dank erstmal für die Ansätze. Ich blicke jetzt aber noch nicht 100 %ig durch.
Wie komme ich auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \vec{F_{||} } =\frac{\vec{F} }{r^{2} } \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$ ? Klar, du hast erwähnt, dass man es mittels Skalarprodukt herausfindet. Aber von welcher Formel leitest du es her? Brauche ich dazu, wie vorgeschlagen, die Einheitsvektoren?
und was genau ist mit $\begin{eqnarray*} r^{2} \end{eqnarray*}$ gemeint? Der Vektor im Qudrat? Dann hätte ich dasselbe aber ja auch im Zähler, denn da steht ja auch: $\begin{eqnarray*} \vec{r} \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \vec{r}^{2} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Dankeschön smile

lg derlaborant

16.12.2011, 18:50

Dopap

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riwe mag es gern kurz und prägnant. Augenzwinkern

Er meinte das so:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_\parallel=\frac{\vec{F}\bullet \vec{r}}{|\vec r|}\cdot\frac {\vec{r}}{|\vec r|} \end{eqnarray*}$

( mit beispielhaft $\begin{eqnarray*} \vec x \bullet \vec y \end{eqnarray*}$ als Skalarprodukt. )

(Allgemeiner usus ist $\begin{eqnarray*} |\vec y| = y \end{eqnarray*}$ )

(und auch $\begin{eqnarray*} {\vec y}^2= y^2 \end{eqnarray*}$ )

Wenn du Obiges anschaust, wird deutlich, dass

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_\parallel=\frac{\vec{F}\bullet \vec{r}}{|\vec r|}\cdot \vec e_p \end{eqnarray*}$

gemeint ist.

Das man wiederum als

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_\parallel=\vec{F}\bullet \vec{e_p} \cdot \vec e_p \end{eqnarray*}$ lesen kann.

soweit klar?

16.12.2011, 23:13

DerLaborant

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Hey jaa das ist alles soweit verständlich. Mir ist nur noch etwas unklar wie du auf den ersten Term kommst. Die daraus abgeleiteten Terme verstehe ich.
Habe jetzt mal die entsprechenden Vektoren eingesetzt und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vec{e} _{p} = \frac{\vec{r} }{| \vec{r} | } = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} m}{\sqrt{(2m)^{2} +(1m)^{2} +(1m)^{2} } } = \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} _{||} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} N\cdot \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8\end{pmatrix} N \end{eqnarray*}$

Laut meiner Rechnung wäre dann ja aber $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \vec{F} _{||} \end{eqnarray*}$ und die senkrechte Kraft müsste ein Nullvektor sein. Habe ich mich da verrechnet?

17.12.2011, 12:36

riwe

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Zitat:

Original von DerLaborant
Hey jaa das ist alles soweit verständlich. Mir ist nur noch etwas unklar wie du auf den ersten Term kommst. Die daraus abgeleiteten Terme verstehe ich.
Habe jetzt mal die entsprechenden Vektoren eingesetzt und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vec{e} _{p} = \frac{\vec{r} }{| \vec{r} | } = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} m}{\sqrt{(2m)^{2} +(1m)^{2} +(1m)^{2} } } = \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} _{||} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} N\cdot \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8\end{pmatrix} N \end{eqnarray*}$

Laut meiner Rechnung wäre dann ja aber $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \vec{F} _{||} \end{eqnarray*}$ und die senkrechte Kraft müsste ein Nullvektor sein. Habe ich mich da verrechnet?

du hast dich nicht verrechnet nur "ganz grauslich vertan".
informiere dich einmal über skalarprodukt, betrag und generell den unterschied zwischen vektoren und skalaren

und ganz besonders, dass und warum $\begin{eqnarray*} \vec{r}\cdot\vec{r}\neq r^2 \end{eqnarray*}$
genau diesen unsinn hast du auch in deiner "rechnung" gemacht.

vielleicht schaust du auch einmal, ob man durch vektoren dividieren darf unglücklich

und nicht zuletzt solltest du dir eine SINNVOLLE skizze machen unglücklich

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_\parallel=\frac{\vec{F}\cdot\vec{r}}{r^2}\vec{r}=\frac{\begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 2 \\-1 \\1 \end{pmatrix}}{6}\vec{r}=\frac{20}{3}\vec{r}=\frac{10}{3}\vec{r} \end{eqnarray*}$

17.12.2011, 14:23

DerLaborant

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Ach du Schande .. das ging ja völlig nach hinten los. Hammer

Mit den Grundrechenarten von Vektoren bin ich eigentlich vertraut, sehe den Fehler daher auch ... Hab mich da irgendwie völlig vertan.
Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe ist, wie kommst du auf die Beziehung:
$\begin{eqnarray*} \vec{F} _{||} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{r} }{r^{2} } \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$ ?

17.12.2011, 14:51

riwe

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naja, das folgt aus der definition und einer SINNVOLLEN skizze Augenzwinkern

definitionsgemäß ist ein vektor parallel zu einem anderen seine projektion auf diesen / in die richtung des anderen.

also

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_{\parallel\vec{r}}=|\vec{F}|\cdot cos\alpha\cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \end{eqnarray*}$

mit dem skalarprodukt hat man

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\vec{F}\cdot\vec{r}}{|\vec{F}|\cdot|\vec{r}|} \end{eqnarray*}$
woraus man durch einsetzen das ergebnis bekommt

beachte: $\begin{eqnarray*} |\vec{r}|\cdot|\vec{r}|\equiv r^2 \end{eqnarray*}$

18.12.2011, 21:54

DerLaborant

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Ahh, ich verstehe.
Danke für die Mühe. smile

18.12.2011, 22:25

Dopap

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Definition des Skalarprodukts über kartesische Koordinaten ist "blutleer".

Die originale Definition mittels

$\begin{eqnarray*} \vec a \circ \vec b = |\vec a ||\vec b| \cos (\alpha ) \end{eqnarray*}$

ist "besser", aber erst die Klammersetzung

$\begin{eqnarray*} \vec a \circ \vec b = |\vec a|\cdot (|\vec b| \cos (\alpha )) \end{eqnarray*}$

zeigt, dass hier die orientierte Projektion des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ erfolgt.

Das Ganze gilt auch mit vertauschten Rollen.

Erst, wenn mir ein Schüler auf die Frage " Was ist das Skalarprodukt" Obiges sinngemäß beantwortet, herrscht Einigkeit.

Auch die Frage "Warum gerade so?" lässt sich das Skalarprodukt z.B mit dem Begriff der Arbeit bei nichtgleichgerichteten Vektoren des Weges und der Kraft eindeutig motivieren.

18.12.2011, 22:47

riwe

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wo ist hier von koordinaten die rede verwirrt

18.12.2011, 22:52

Dopap

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RE: Parallelogramm - Kräftezerlegung

Zitat:

Original von DerLaborant
Eine Kraft $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix} N (Newton) \end{eqnarray*}$ greift an einem Hebel $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}m (Meter) \end{eqnarray*}$ an.

18.12.2011, 22:58

riwe

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ja für die aufgabenstellung kann doch weder der fragesteller noch ich nix.
schreib halt seinem lehrer unglücklich

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