Abelsche gruppe Verknüpfungstabelle ausfüllen

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Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
Abelsche gruppe Verknüpfungstabelle ausfüllen
Hallo zusammen.

Wir haben in den letzten Minuten der letzten Vorlesung das Thema Gruppen durchgedrückt und dummerweise wurde auch nichts im Script dazu hochgeladen, deswegen benötige ich bei dieser Aufgabe hilfe:

Und zwar soll der Anhang die Verknüpfungstabelle zu einer abelschen Gruppe sein.

Es gibt ein paar Angaben und viele Lücken die zu füllen sind.

Ich habe zusätzlich schon c und g in der linken Spalte bei a,b und a,c hinzugefügt, aufgrund der Symmetrie zur Diagonalen.
ein d bei f,a (ebenfalls wegen Symmetrie) habe ich ebenfalls schon
und ganz rechte Spalte vorletzter Eintrag ist ein c.
Ach und In der ersten Zeile unter dem g ist noch ein a.

Was ich weiß ist, es muss ein neutralen Element in jeder Zeile geben, aber welches das sein könnte weiß ich nicht, Symmetrie weiß ich auch damit bin ich aber jetzt am Ende.


Wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte fänd ich das echt super :-)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Gruppe hat ein neutrales Element. Dieser Tipp gibt dir eine vollständige Zeile und Spalte. (Achso, du weißt nicht welches, also es muss d sein, denn jedes andere Element verändert etwas.)
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

ah, also ich betrachte a ° a und da kommt f raus, wenn a neutral wäre, dann wäre wieder a rausgekommen, und dasselbe mit allen und überall kommt nicht dasselbe Element wieder raus.

Und dann ist wohl auch b zu sich selbst invers denn da kommt ja d raus?!
Und zu a sollte es f sein, denn auch hier kommt d raus.

Dann sieht außerdem die d spalte so aus: a,b,c,d,f,g und so auch die Zeile, oder?

Aber dann, wie geht es weiter...

g°f ist c, ist dann auch c°f = g ?
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit bin ich nun (siehe Bild)
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nach dem Ausschlussverfahren weiter gemacht:

zweite Zeile ganz rechts: g und f

dritte Zeile: mitte: f rechts: b und

fünfte Zeile (komplett): d, g, b, f, a und c

letzte Zeile (dito): b, f, d, g, c, a


Ist das dann so richtig? scheint mir so...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch, die Gruppe enthält kein Element e, also kann kein Produkt gleich e sein.
 
 
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Nein guck nochmal, ich habemich nur verschrieben weil das Element e ausgelassen wurde, da steht statt dem e halt ein f

In der dazugehörigen symmetrischen Spalte ist es auch richtig..

War das der einzige Makel?

Trotzdem danke :-)

Ich könnte das auch nochmal komplett hochladen aber ich bin mir eigentlich sicher...
(habs zweimal gemacht) ach egal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

hhhmmm, ja, wenn es eine abelsche Gruppe ist, dann muss sie wohl so aussehen.
Woher wissen wir nun, dass es eine abelsche Gruppe ist ??

Wir wissen: abelsch, es gibt ein neutrales Element, und man sieht dass es zu jedem Element ein inverses Element gibt.
Zu zeigen: assoziativ.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm sorry?

Wir wissen das sie abelsch ist weil es von der Aufgabenstellung so vorgegeben ist.

Was soll ich denn nun noch zeigen, wo ich doch nur die Lücken füllen sollte?!

Ich weiß nicht ganz was du meinst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt Cayley-Tafeln, die alle hier gezeigten Eigenschaften haben, aber keine Gruppen-Tafeln sind.
In einer Gruppe muss die Verknüpfung assoziativ sein, d.h. für alle x,y,z aus G muss gelten x(yz)=(xy)z .
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du sowas wie:

(af)g = a(fg)

=> dg = ac

=> g = g

?!

Das soll ich zeigen?

Ich denke, dass die Aufgabe auch ohne "zeigen" erledigt ist oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Underfaker
(af)g = a(fg)

=> dg = ac

=> g = g


Elvis meint, dass du die Assoziativität der Verknüpfung zeigen sollst. Er meint nicht, dass du die Assoziativität annehmen und daraus irgendetwas folgern sollst. Genau das hast du aber getan.
Das ist ein Problem der Logik. Aus einer falschen Annahme kann man alles folgern. Wenn wir zum Beispiel annehmen, können wir beweisen, dass du der König von Schweden bist. Big Laugh

Man muss also noch für geeignet viele Kombinationen von Gruppenelementen die Assoziativität nachweisen. Da die Gruppe abelsch ist, kann man sich einiges sparen...
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Gruppe abelsch ist erübrigt sich das zeigen der assoziativität, sonst wäre es ja keine abelsche "Gruppe"?!

Wo ist da der Denkfehler, und die Aufgabenstellung lautet in der Tat "nur": "Ergänzen Sie den Rest der Tabelle."
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, wenn man annimmt, dass die Gruppe abelsch ist, kann man auch gleich annehmen, dass es überhaupt eine Gruppe ist - einfach als Voraussetzung der Aufgabe. Du hast also Recht, die Aufgabenstellung verlangt eigentlich nur das Ausfüllen der Lücken. Entschuldige bitte, ich hätte die Ausgangsfrage noch einmal genauer lesen sollen.

Trotzdem bleiben zwei wichtige Anmerkungen bestehen. Zum einen die von Elivs
Zitat:
Es gibt Cayley-Tafeln, die alle hier gezeigten Eigenschaften haben, aber keine Gruppen-Tafeln sind.

Das heißt also, dass der Schein durchaus trügen kann und wenn man nicht annimmt, dass man bereits eine Gruppe vorliegen hat, muss man die Assoziativität zeigen.

Das andere ist die Bemerkung zu
Zitat:
(af)g = a(fg)

=> dg = ac

=> g = g

Das ist ein Fehler, den ich häufig bei Anfängern sehe: die Behauptung zu nehmen und sie solange umzuformen, bis irgendetwas wahres herauskommt, beweist die Behauptung nicht. Im Wesentlichen beweist das überhaupt nichts sinnvolles, denn wie gesagt: aus einer falsche Annahme kann man alles folgern.

Die Aufgabe ist so dann aber in der Tat schon gelöst.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »

Den Hinweis von Elvis habe ich nciht so ganz verstanden mit den Tafeln, aber ok :-)

Und das andere hast du nicht so ganz verstanden, ich habe da ncihts angenommen und umgeformt, sondern habe mir nur ein Beispiel oben aus der Tabelle genommen und das einmal durchgespielt und gefragt ob er meint, dass ich sowas zeigen soll.

Also z.z wäre das allgemein aber zum Verständnis hatte ich ein Beispiel verwendet. :-)

ps: So eine stümperhafte Umformung mache ich nämlich nicht, habe ich noch nichtmal probiert, insofern ist der Anfänger an dieser Stelle wohl von einem Übel verschont geblieben...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel ist in Ordnung. In einer Gruppe muss das Assoziativgesetz für je 3 Elemente gelten. Streng genommen also für Gleichungen .
In einer Cayley-Tafel tritt jedes Element in jeder Zeile und Spalte genau einmal auf, in einer Gruppen-Tafel genauso. Aber nicht jede Cayley-Tafel ist eine Gruppen-Tafel. Das Assoziativgesetz ist nicht selbstverständlich, es gehört wesentlich zu den Gruppenaxiomen.
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