Legendre Polynome Orthogonalisieren

15.12.2011, 20:14

angrash

Legendre Polynome Orthogonalisieren

Also ich habe gegeben die Monomen Basis
$\begin{eqnarray*} Q:=\{1, x , x^2 , x^3 \} \end{eqnarray*}$ und soll nun bezueglich dieser Basis und bezueglich dieses Skalarproduktes
$\begin{eqnarray*} (f,g):=\int_{-1}^{1} \omega(x)f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega(x) = 1 \end{eqnarray*}$

die Legendre Polynome aufstellen. Was an sich keine großen Probleme bereiten sollte.. aber ich komme einfach auf das falsche ergebniss.. hoffe jemand kann mir sagen wo ich den fehler mache...

Mein Ansatz:

Gram -Schmidt:

$\begin{eqnarray*} P_o = Q_0 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_1 = Q_1 -\frac{(P_0,Q_1)}{(P_0,P_0)}*P_0=\frac{\int_{-1}^{1}x}{\int_{-1}^{1}1}= x - 0 = x, \end{eqnarray*}$
jetzt kommt das problem

$\begin{eqnarray*} P_2=Q_2-\frac{(P_0,Q_2)}{(P_0,P_0)}P_0 - \frac{(P_1,Q_2)}{(P_1,P_1)}P_1 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} x^2-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und das ist nicht das auf Wikipedia steht.. und ich sehe den Fehler nicht. Habe ich da was vergessen?

16.12.2011, 15:21

Math1986

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RE: Legendre Polynome Orthogonalisieren

Zitat:

Original von angrash
jetzt kommt das problem

$\begin{eqnarray*} P_2=Q_2-\frac{(P_0,Q_2)}{(P_0,P_0)}P_0 - \frac{(P_1,Q_2)}{(P_1,P_1)}P_1 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} x^2-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und das ist nicht das auf Wikipedia steht.. und ich sehe den Fehler nicht. Habe ich da was vergessen?

Die Legendre-Polynome sind nur bis auf einen konstanten Vorfaktor eindeutig, daher scheint deine Rechnung zu stimmen.
Ansonsten poste mal die komplette Rechnung.

16.12.2011, 19:34

angrash

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nach bestimmt 10 mal rechnen habe ich festgestellt dass die rechnung richtig ist nur, dass ich das polynom nicht normiert hatte aufP(1) = 1... nachdem ich das gemacht habe kam das richtige ergebnis raus.. danke trotzdem

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