Sinus-, Cosinuszusammenhang

15.12.2011, 21:45

Limo

Sinus-, Cosinuszusammenhang

Hey,

ich hab hier eine ziemlich schwierige Aufgabe gestellt bekommen, für die ich nicht wirklich einen Ansatz zur Lösung finde. Es geht darum die folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}(\cos{\theta x}) \end{eqnarray*}$

zu beweisen. Ich komme weder mit der Reihenentwicklung noch irgendwelchen Exponentialdarstellungen weiter. Seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht oder ist die Gleichung wirklich so "tricky"?

Gruß

Limo

15.12.2011, 22:55

juffo-wup

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Sagt dir der Name 'Satz von Taylor' etwas oder hattet ihr das noch nicht?

15.12.2011, 23:01

Limo

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Zitat:

Original von juffo-wup
Sagt dir der Name 'Satz von Taylor' etwas oder hattet ihr das noch nicht?

nur wenn es um die reihenentwicklung des cosinus geht. :/

viel gebracht hat es mir jedoch nicht beispielsweise die reihe mal einzusetzen und anzuschauen was passiert. :/

16.12.2011, 08:09

juffo-wup

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Sollst du zu jedem x ein solches $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ finden oder ein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ für alle (viele?) x? Jedenfalls könnte es sich lohnen, die Reihe $\begin{eqnarray*} -\frac{7!}{x^7}\left(\sin(x)-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\right)=1-\frac{x^2}{9\cdot 8}+\frac{x^4}{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8} \mp ... \end{eqnarray*}$ anzusehen und mit der Cosinusreihe zu vergleichen.

16.12.2011, 08:48

Limo

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Zitat:

Original von juffo-wup
Sollst du zu jedem x ein solches $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ finden oder ein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ für alle (viele?) x? Jedenfalls könnte es sich lohnen, die Reihe $\begin{eqnarray*} -\frac{7!}{x^7}\left(\sin(x)-x+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}\right)=1-\frac{x^2}{9\cdot 8}+\frac{x^4}{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8} \mp ... \end{eqnarray*}$ anzusehen und mit der Cosinusreihe zu vergleichen.

Mhh in der Aufgabenstellung steht nur beweise.

Genau das habe ich schon gemacht komme aber leider auf keinen grünen Zweig. :/

16.12.2011, 09:57

juffo-wup

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Die Reihe ist für x zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ zumindest $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \geq 1-\frac{x^2}{9\cdot 8} \end{eqnarray*}$ (der Betrag eines Gliedes ist immer größer als der des nächsten und die Reihe alterniert), insbesondere zwischen 0 und 1. Man kann also $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,\frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ gleich diesem Reihenwert ist, da $\begin{eqnarray*} \cos:[0,\frac{\pi}{2}]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Dann kann $\begin{eqnarray*} \theta=\frac{\alpha}{x} \end{eqnarray*}$ gewählt werden. Damit ist nicht viel über $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ bekannt, aber es ist eindeutig nach Wahl von x. Löst das die Aufgabe dann also? verwirrt

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